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树和二叉树

要注意树和二叉树是两个完全不同的结构、概念，它们之间不存在包含之类的关系

树的定义

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树T：
（1）有且仅有一个称之为根的结点；
（2）除根结点以外的其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1, T2, …, Tm, 其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。
显然，树的定义是一个递归的定义

树的基本术语

根：即根结点(没有前驱)
叶子：即终端结点(没有后继)
森林：指m棵不相交的树的集合(例如删除A后的子树个数)
有序树：结点各子树从左至右有序，不能互换（左为第一）
无序树：结点各子树可互换位置
双亲：即上层的那个结点(直接前驱)
孩子： 即下层结点的子树的根(直接后继)
兄弟：同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟）
堂兄弟：即双亲位于同一层的结点（但并非同一双亲）
祖先：即从根到该结点所经分支的所有结点
子孙：即该结点下层子树中的任一结点
结点：即树的数据元素
结点的度：结点挂接的子树数
结点的层次：从根到该结点的层数（根结点算第一层）
终端结点：即度为0的结点，即叶子
分支结点：即度不为0的结点（也称为内部结点）
树的度：所有结点度中的最大值
树的深度(或高度)：指所有结点中最大的层数

二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点所构成的集合，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树T：
（1）有且仅有一个称之为根的结点；
（2）除根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2，分别称为T的左子树和右子树，且T1和T2本身又都是二叉树。
所有树都可以转为唯一对应的二叉树，不失一般性，任何树都可以与二叉树相互转换。
二叉树不是树的特殊情况，它们是两个概念

二叉树的特点

1、每个结点最多有两孩子（二叉树中不存在度大于2的结点）
2、子树有左右之分，其次序不能颠倒
3、二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树或空的右子树
二叉树的五种基本形态：

（虽然二叉树与树概念不同，但有关树的基本术语对二叉树都适用）

二叉树的性质

性质一

第i层上至少有1个结点
性质二

深度为k时至少有k个结点

性质三
以n(0)表示度为0的结点的个数，以n（1）表示度为1的结点的个数，以n（2）表示度为2的结点个数
则n（0）=n（2）+1
推导：
设一棵二叉树总结点个数为n,则从下往上看，每一个结点都有一条边和它的双亲结点相连（有且只有一条），头结点除外，因为他没有双亲结点，则这棵二叉树总共有n-1条边
又因为度为2的结点n（2）会生出两条边，度为1的结点n（1）会生出一条边，度为0的结点没有边，因此n-1=2* n（2）+1* n（1）
又因为总结点个数n=度为二的结点个数n（2）+度为一的结点个数n（1）+度为零的结点个数n（0）
n=n（2）+n（1）+n（0）
n-1=2 * n（2）+1 * n（1）
合并整理得n（0）=n（2）+1

两种特殊形式的二叉树

满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数最多
满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点个数最多


在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个结点，即是一颗完全二叉树
满二叉树一定是完全二叉树
完全二叉树不一定是满二叉树

相关题目练习

1. (判断题)二叉树中每个结点的度不能超过2,所以二叉树是一种特殊的树。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 错
   二叉树和树完全是两个概念，两个东西，二叉树不是树的特例
2. (判断题)哈夫曼树的总结点个数(多于1时)不能为偶数。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 对
   哈夫曼编码树中没有度为1的结点。若叶子结点的个数为n，则哈夫曼编码树的结点总数为 2n-1，因此总结点个数(多于1时)不能为偶数
3. (判断题)由二叉树的先序序列和后序序列可以唯一确定一颗二叉树。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 错
   哈夫曼树一定是完全二叉树。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 错
4. (判断题)满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 对
5. (判断题)设一棵树T可以转化成二叉树BT,则二叉树BT中一定没有右子树。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 对
6. (判断题)哈夫曼树中没有度数为1的结点。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 对
7. (判断题)先序遍历一棵二叉排序树得到的结点序列不一定是有序的序列。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 对
8. (判断题)中序遍历二叉排序树可以得到一个有序的序列。
   A. 对
   B. 错
   正确答案: 对
9. (选择题)具有60个结点的二叉树,其叶子结点有12个,则度为1的结点数为( )。
   A. 11
   B. 13
   C. 48
   D. 37
   正确答案: D:37
10. (选择题)Huffman树的带权路径长度WPL等于( )。
    A. 除根结点之外的所有结点权值之和
    B. 所有结点权值之和
    C. 各叶子结点的带权路径长度之和
    D. 根结点的值
    正确答案: C:各叶子结点的带权路径长度之和
11. (选择题)在一棵二叉树上第4层的结点数最多为( )。
    A. 2
    B. 4
    C. 6
    D. 8
    正确答案: D
12. (选择题)用顺序存储的方法将完全二叉树中的所有结点逐层存放在数组中R[1…n],结点R[i]若有左孩子,其左孩子的编号为结点( )。
    A. R[2i+1]
    B. R[2i]
    C. R[i/2]
    D. R[2i-1]
    正确答案: B
13. (选择题)由权值分别为3,8,6,2,5的叶子结点生成一棵哈夫曼树,它的带权路径长度为( )。
    A. 24
    B. 48
    C. 72
    D. 53
    正确答案: D:53
14. (选择题)如果F是由有序树T转换而来的二叉树,那么T中结点的前序就是F中结点的( )。
    A. 中序
    B. 前序
    C. 后序
    D. 层次序
    正确答案: B:前序
15. (选择题)欲实现任意二叉树的后序遍历的非递归算法而不必使用栈,最佳方案是二叉树采用( )存储结构。
    A. 三叉链表
    B. 广义表
    C. 二叉链表
    D. 顺序
    正确答案: A
16. (选择题)任何一棵二叉树的叶子结点在先序、中序和后序遍历序列中的相对次序( )。
    A. 不发生改变
    B. 发生改变
    C. 不能确定
    D. 以上都不对
    正确答案: A
17. (选择题)根据二叉树的定义可知二叉树共有( )种不同的形态。
    A. 4
    B. 5
    C. 6
    D. 7
    正确答案: B
    
18. (选择题)设哈夫曼树中的叶子结点总数为m,若用二叉链表作为存储结构,则该哈夫曼树中总共有( )个空指针域。
    A. 2m-1
    B. 2m
    C. 2m+1
    D. 4m
    正确答案: B
19. (选择题)设某棵二叉树中有2000个结点,则该二叉树的最小高度为( )。
    A. 9
    B. 10
    C. 11
    D. 12
    正确答案: C
20. (选择题)设一棵m叉树中度数为0的结点数为N0,度数为1的结点数为Nl,……,度数为m的结点数为Nm,则N0=( )。
    A. Nl+N2+……+Nm
    B. l+N2+2N3+3N4+……+(m-1)Nm
    C. N2+2N3+3N4+……+(m-1)Nm
    D. 2Nl+3N2+……+(m+1)Nm
    正确答案: B