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文章目录
- 第四章 二元关系和函数
- 4.
- 6.2
- 9
- 11
- 12
- 16
- 18.1
- 20.2
- 22.1
- 23
- 28
- 34
- 第五章 代数系统的一般概念
- 2判断二元运算是否封闭
- 3
- 4
- 8
- 11
- 12
- 14
- 第六章 几个典型的代数系统
- 1.
- 5.
- 6.
- 7.
- 11.
- 12
- 15
- 16
- 18
- 第七章 图的基本概念
- 1
- 2
- 4
- 7
- 9
- 11
- 12
- 15
第四章 二元关系和函数
4.
A={1,2,3}
恒等关系
IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}I_A=\{ <1,1>,<2,2>,<3,3>\}IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
全域关系EA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}E_A=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>\}EA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}
小于等于关系
LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}L_A=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>\}LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
整除关系
DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}D_A=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>\}DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
6.2
A={1,2,4,6},列出R
R={(x,y)|x,y∈\in∈A∧\wedge∧ |x-y|=1}
R={<1,2>,<2,1>}R=\{<1,2>,<2,1>\}R={<1,2>,<2,1>}
9
R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}R=\{<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>\}R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}
求R∘\circ∘R,R−1R^{-1}R−1
R∘R={<0,2>,<0,3>,<0,3>,<1,3>}R\circ R=\{<0,2>,<0,3>,<0,3>,<1,3>\}R∘R={<0,2>,<0,3>,<0,3>,<1,3>}
R−1={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R^{-1}=\{<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>\}R−1={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}
11
设A={1,2...10}A=\{1,2...10\}A={1,2...10}
R={<x,y>∣x,y∈A∧x+y=10}R=\{<x,y>|x,y\in A\wedge x+y=10 \}R={<x,y>∣x,y∈A∧x+y=10}
对称性,非自反性(含<5,5><5,5><5,5>)
12
关系图:
关系矩阵:
[012301001100002110130010]\left[ \begin{matrix} & 0 & 1&2&3 \\ 0 &1&0&0&1 \\ 1&0&0&0&0 \\ 2&1&1&0&1\\ 3&0&0&1&0\\ \end{matrix} \right] 012301010100102000131010
16
$ 自反闭包:r®=R\cup R^0$
对称闭包:s(R)=R∪R−1对称闭包: s(R)=R\cup R^{-1}对称闭包:s(R)=R∪R−1
传递闭包:t(R)=R∪R2∪...传递闭包: t(R)=R\cup R^2\cup...传递闭包:t(R)=R∪R2∪...
18.1
是Z+Z^+Z+ 的划分
-
∅\emptyset∅ ∉\notin∈/ π\piπ
-
S1,S2不交
-
S2=Z+Z^+Z+-S1=Z+Z^+Z+∩\cap∩ ~S1
S1∪\cup∪S2=(Z+Z^+Z+∩\cap∩~S1)∪\cup∪S1=(Z+Z^+Z+∪\cup∪ S1)∩\cap∩(~S1∪\cup∪S1)=Z+Z^+Z+
20.2
22.1
极大元:e
极小元:a
最大元:e
最小元:a
23
蓝色圈住的地方为B
上界:12
下届:1
最小上届:12
最大下届:1
28
回答是否为满射、单射、双射。若为双射,求反函数。求A在f下的像f(A)
为满射,单射,双射。
反函数为f(x)−1=<x,x−1>f(x)^{-1}=<x,x-1>f(x)−1=<x,x−1>
f(A)=6
非满射,非单射。
f(A)={1,2}
非满射,为单射
f(A)={1,232\over 332}
34
(1)
g∘\circ∘f=f(g(x))=f(x+4)=(x+4)2−2(x+4)^2-2(x+4)2−2
f∘\circ∘g=g(f(x))=g(x2x^2x2-2)=x2x^2x2+2
(2)
g∘\circ∘f非单射,非满射,非双射
g∘\circ∘f非单射,非满射,非双射
(3)
g,h有反函数
g(x)−1g(x)^{-1}g(x)−1=x-4
h(x)−1h(x)^{-1}h(x)−1=(x+1)13(x+1)^{1\over3}(x+1)31
第五章 代数系统的一般概念
2判断二元运算是否封闭
(2) 封闭
(4) 封闭
(8) 封闭
3
(2)不符合交换律、适合结合律。不符合分配律,分配律是两个二元运算之间的
(4) 不符合交换律,符合结合律。不符合分配律,分配律是两个二元运算之间的
(8) 适合交换律、结合律。符合分配律,乘法对加法适合分配律
4
(2) 无单位元(仅右单位元1),无零元,显然可得,无逆元
(4) 单位元为nxn的单位矩阵,零元为nxn的零矩阵。有逆矩阵的矩阵A的逆元为A−1A^{-1}A−1
(8) 加法:无单位元,无零元,显然可得,无逆元 //乘法:单位元为1,无零元,无逆元
8
(1)
- 满足交换律:*、 ∘\circ∘、∙\bullet∙
- 满足结合律:*、∘\circ∘、∙\bullet∙ 、□\Box□
- 幂等:□\Box□
(2)
*:没有单位元,零元为a,无逆元
∘\circ∘: 单位元为a,无零元,a的逆元为a,b的逆元为b
∙\bullet∙ :无单位元,无零元,无逆元
□\Box□: 无单位元(左单位元为a),无零元(右零元为b),无逆元
11
(2) S2构成V的子代数,S2对+,∙\bullet∙ 都是封闭的
12
设V1=({1,2,3},°,1),其中x°y表示取x和y之中较大的数,V2=({5,6},*,6),其中x*y表示取x和y之中较小的数.
(1) 求出V1的所有子代数,其中哪些是平凡的子代数?哪些是真子代数?
(2)求积代数y,×y,给出积代数(V,×V,·,)的运算表和代数常数k,并说明k是什么特异元素
(1)
子代数系统的B的条件:
- B⊆\subseteq⊆S
- B∉\notin∈/ ∅\emptyset∅
- B和S含有相同的子代数常数
- B对V中所有运算封闭
1为单位元
B1={1},B2={1,2},B3={1,3},B4={1,2,3}
其中平凡子代数为:B1,B4
真子代数为:B2,B3
(2)
设V1×V2=<S1×S2,∙,k>V_1\times V_2=<S1\times S2,\bullet,k>V1×V2=<S1×S2,∙,k>
S1×S2={<1,5>,<1,6>,<2,5>,<2,6>,<3,5>,<3.6>}S_1\times S_2=\{<1,5>,<1,6>,<2,5>,<2,6>,<3,5>,<3.6>\}S1×S2={<1,5>,<1,6>,<2,5>,<2,6>,<3,5>,<3.6>}
<x1,y1>,<x2,y2>∈S1×S2<x_1,y_1>,<x_2,y_2>\in S_1\times S_2<x1,y1>,<x2,y2>∈S1×S2
<x1,y1>∙<x2,y2>=<x1∘x2,y1∗y2><x_1,y_1>\bullet<x_2,y_2>=<x1\circ x_2,y_1*y_2><x1,y1>∙<x2,y2>=<x1∘x2,y1∗y2>
运算表:
[<1,5><1,6><2,5><2,6><3,5><3.6><1,5><1,5><1,5><2,5><2,5><3,5><3,5><1,6><1,5><1,6><2,5><2,6><3,5><3,6><2,5><2,5><2,5><2,5><2,5><3,5><3,5><2,6><2,5><2,6><2,5><2,6><3,5><3,6><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3,6><3,5><3,6><3,5><3,6><3,5><3,6>]\left[ \begin{matrix} &<1,5>&<1,6>&<2,5>&<2,6>&<3,5>&<3.6>\\ <1,5>&<1,5>&<1,5>&<2,5>&<2,5>&<3,5>&<3,5>\\ <1,6>&<1,5>&<1,6>&<2,5>&<2,6>&<3,5>&<3,6>\\ <2,5>&<2,5>&<2,5>&<2,5>&<2,5>&<3,5>&<3,5>\\ <2,6>&<2,5>&<2,6>&<2,5>&<2,6>&<3,5>&<3,6>\\ <3,5>&<3,5>&<3,5>&<3,5>&<3,5>&<3,5>&<3,5>\\ <3,6>&<3,5>&<3,6>&<3,5>&<3,6>&<3,5>&<3,6>\\ \end{matrix} \right] <1,5><1,6><2,5><2,6><3,5><3,6><1,5><1,5><1,5><2,5><2,5><3,5><3,5><1,6><1,5><1,6><2,5><2,6><3,5><3,6><2,5><2,5><2,5><2,5><2,5><3,5><3,5><2,6><2,5><2,6><2,5><2,6><3,5><3,6><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3.6><3,5><3,6><3,5><3,6><3,5><3,6>
k=<1,6>k=<1,6>k=<1,6>
k是单位元
14
若ψ为V1到V2的同态V1=<S1,∘>(V)2=<S2,∗>则ψ(x∘y)=ψ(x)∗ψ(y)普通加法和矩阵加法ψ(a)=[a00a]ψ(bi)=[0b−b0]ψ(a)+ψ(b)=[ab−ba](+为矩阵加法)故可知ψ(a+bi)=ψ(a)+ψ(bi)(第一个+为普通加法,第二个为矩阵加)若\psi为V_1到V_2的同态\\ V1=<S_1,\circ>\pod V_2=<S_2,*>\\ 则\psi(x\circ y)=\psi(x)*\psi(y)\\ 普通加法和矩阵加法\\ \psi(a)=\left[ \begin{matrix} a&0\\ 0&a \end{matrix} \right] \psi(bi)=\left[ \begin{matrix} 0&b\\ -b&0 \end{matrix} \right]\\ \psi(a)+\psi(b)=\left[ \begin{matrix} a&b\\ -b&a \end{matrix} \right](+为矩阵加法)\\ 故可知\psi(a+bi)=\psi(a)+\psi(bi)(第一个+为普通加法,第二个为矩阵加)\\ 若ψ为V1到V2的同态V1=<S1,∘>(V)2=<S2,∗>则ψ(x∘y)=ψ(x)∗ψ(y)普通加法和矩阵加法ψ(a)=[a00a]ψ(bi)=[0−bb0]ψ(a)+ψ(b)=[a−bba](+为矩阵加法)故可知ψ(a+bi)=ψ(a)+ψ(bi)(第一个+为普通加法,第二个为矩阵加)
普通乘法和矩阵乘法ψ(a∗bi)=[0a∗b−a∗b0]ψ(a)=[a00a]ψ(bi)=[0b−b0]ψ(a)∗ψ(b)=[0a∗b−a∗b0]可知ψ(a∗bi)=ψ(a)∗ψ(bi)(第一个∗为普通乘法,第二个∗为矩阵乘法)普通乘法和矩阵乘法\\ \psi(a*bi)=\left[ \begin{matrix} 0&a*b\\ -a*b&0 \end{matrix} \right]\\ \psi(a)=\left[ \begin{matrix} a&0\\ 0&a \end{matrix} \right]\\ \psi(bi)=\left[ \begin{matrix} 0&b\\ -b&0 \end{matrix} \right]\\ \psi(a)*\psi(b)=\left[ \begin{matrix} 0&a*b\\ -a*b&0\\ \end{matrix} \right]\\ 可知\psi(a*bi)=\psi(a)*\psi(bi)(第一个*为普通乘法,第二个*为矩阵乘法) 普通乘法和矩阵乘法ψ(a∗bi)=[0−a∗ba∗b0]ψ(a)=[a00a]ψ(bi)=[0−bb0]ψ(a)∗ψ(b)=[0−a∗ba∗b0]可知ψ(a∗bi)=ψ(a)∗ψ(bi)(第一个∗为普通乘法,第二个∗为矩阵乘法)
故可知ψ\psiψ为V1到V2V_1到V_2V1到V2的同态
不为单同态,因为对于*来说,<a,b>和<b,a>的结果相同ψ(a∗bi)=ψ(a)∗ψ(bi)=ψ(b∗ai)<a,b>和<b,a>的结果相同\psi(a*bi)=\psi(a)*\psi(bi)=\psi(b*ai)<a,b>和<b,a>的结果相同ψ(a∗bi)=ψ(a)∗ψ(bi)=ψ(b∗ai)
为满同态
不为同构
第六章 几个典型的代数系统
1.
(1)可结合、1为单位元、其中任何元素都有逆元。故为群
(4)lcm:最小公倍数 gcd:最大公约数。
可结合。对于lcm有单位元1,对gcd有零元1。在S不仅只有一个元素时,零元无逆元。故为半群
(5)可结合。单位元为0。0的逆元为0,1的逆元为1;故其中任何元素都有逆元。为群
5.
可结合。2为单位元。其中任何元素都有逆元,为4-x。故可构成群
6.
(1)给出∘\circ∘运算表
∘\circ∘ | f1=x | f2=x−1x^{-1}x−1 | f3=1-x | f4=(1−x)−1(1-x)^{-1}(1−x)−1 | f5=(x−1)x−1(x-1)x^{-1}(x−1)x−1 | f6=x(x−1)−1x(x-1)^{-1}x(x−1)−1 |
---|---|---|---|---|---|---|
f1=x | x | x−1x^{-1}x−1 | 1-x | (1−x)−1(1-x)^{-1}(1−x)−1 | (x−1)x−1(x-1)x^{-1}(x−1)x−1 | x(x−1)−1x(x-1)^{-1}x(x−1)−1 |
f2=x−1x^{-1}x−1 | x−1x^{-1}x−1 | x | 1-x−1x^{-1}x−1 | (1−x−1)−1(1-x^{-1})^{-1}(1−x−1)−1 | (x−1−1)x(x^{-1}-1)x(x−1−1)x | x−1(x−1−1)−1x^{-1}(x^{-1}-1)^{-1}x−1(x−1−1)−1 |
f3=1-x | 1-x | (1−x)−1(1-x)^{-1}(1−x)−1 | x | x−1x^{-1}x−1 | −1-1−1 | -1 |
f4=(1−x)−1(1-x)^{-1}(1−x)−1 | (1−x)−1(1-x)^{-1}(1−x)−1 | 1-x | 1−(1−x)−11-(1-x)^{-1}1−(1−x)−1 | (1−(1−x)−1)−1(1-(1-x)^{-1})^{-1}(1−(1−x)−1)−1 | x | (1−x)−1((1−x)−1−1)−1(1-x)^{-1}((1-x)^{-1}-1)^{-1}(1−x)−1((1−x)−1−1)−1 |
f5=(x−1)x−1(x-1)x^{-1}(x−1)x−1 | (x−1)x−1(x-1)x^{-1}(x−1)x−1 | (x−1)−1x(x-1)^{-1}x(x−1)−1x | 1−(x−1)x−11-(x-1)x^{-1}1−(x−1)x−1 | x | ((x−1)x−1−1)(x−1)−1x((x-1)x^{-1}-1)(x-1)^{-1}x((x−1)x−1−1)(x−1)−1x | (x−1)x−1((x−1)x−1−1)−1(x-1)x^{-1}((x-1)x^{-1}-1)^{-1}(x−1)x−1((x−1)x−1−1)−1 |
f6=x(x−1)−1x(x-1)^{-1}x(x−1)−1 | x(x−1)−1x(x-1)^{-1}x(x−1)−1 | x−1(x−1)x^{-1}(x-1)x−1(x−1) | 1−x(x−1)−11-x(x-1)^{-1}1−x(x−1)−1 | (1−x(x−1)−1)−1(1-x(x-1)^{-1})^{-1}(1−x(x−1)−1)−1 | (x(x−1)−1−1)x−1(x−1)(x(x-1)^{-1}-1)x^{-1}(x-1)(x(x−1)−1−1)x−1(x−1) | x |
可结合。f1为其单位元,所以元素都有逆元。故<F,∘><F,\circ><F,∘> 是一个群
7.
(1)可结合,a为单位元,所有元素均有逆元。故<G,∘><G,\circ><G,∘> 为群
(2)生成元有b,c。因为bk,ckb^{k},c^{k}bk,ck涵盖了G里的所有元素
11.
G={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}G=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\}G={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}
(1)所有生成元为:
n=20,生成元为小于等于20且与20互质的数
1 3 7 9 11 13 17 19
(2)G的所有子群
G=<1>=<3>=<7>=<9>=<11>=<13>=<17>=<19>G=<1>=<3>=<7>=<9>=<11>=<13>=<17>=<19>G=<1>=<3>=<7>=<9>=<11>=<13>=<17>=<19>(生成元的生成子群=G)
20的正因子为 1 2 4 5 10 20,故有6个子群
H1=<0>={0}H1=<0>=\{0\}H1=<0>={0}
H2=<1>=GH2=<1>=GH2=<1>=G
H3=<2>={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18}=<20−2>=<18>H3=<2>=\{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18\}=<20-2>=<18>H3=<2>={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18}=<20−2>=<18>
H4=<4>={0,4,8,12,16}=<20−4>=<16>H4=<4>=\{0,4,8,12,16\}=<20-4>=<16>H4=<4>={0,4,8,12,16}=<20−4>=<16>
H5=<5>={0,5,10,15}=<15>H5=<5>=\{0,5,10,15\}=<15>H5=<5>={0,5,10,15}=<15>
H6=<10>={0,10}H6=<10>=\{0,10\}H6=<10>={0,10}
(3)[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FJb3ITaF-1678012348161)(课外学习资料/所需图片/QQ截图20221205145804.png)]
12
(1)
σ=\sigma=σ=(1 4 6 2 5 3 ),τ\tauτ=(1 3 2)(4 5 6)
(2)
στ−1σ=(1,2,6)(3,5,4)\sigma\tau^{-1}\sigma=(1,2,6)(3,5,4)στ−1σ=(1,2,6)(3,5,4)
σ2=(1,6,5)(2,3,4)\sigma^2=(1,6,5)(2,3,4)σ2=(1,6,5)(2,3,4)
(3)
σ\sigmaσ是6阶轮换,τ\tauτ是3阶轮换
15
(1)
由于已知为布尔代数,∨\vee∨对∧\wedge∧有可分配,∧\wedge∧对∨\vee∨也可分配
(a∧\wedge∧b)∨\vee∨(a∧\wedge∧b∧\wedge∧c)∨\vee∨(b∧\wedge∧c)∨\vee∨(a∧\wedge∧b∧\wedge∧c)
=((a∧\wedge∧b)∧\wedge∧(1∨\vee∨c))∨\vee∨((b∧\wedge∧c)∧\wedge∧(1∨\vee∨a))
=(a∧\wedge∧b)∨\vee∨(b∧\wedge∧c)
=b∧\wedge∧(a∨\vee∨c)
(2)
f∗f^*f∗=b∨\vee∨(a∧\wedge∧c)
16
18
根据 ∨\vee∨对∧\wedge∧的分配律可得
a∨\vee∨(b∧\wedge∧c)=(a∨\vee∨b)∧\wedge∧(a∨\vee∨c)
又因为a《=c,故a∨\vee∨c=c
带入可得
a∨\vee∨(b∧\wedge∧c)=(a∨\vee∨b)∧\wedge∧(a∨\vee∨c)=(a∨\vee∨b)∧\wedge∧c
第七章 图的基本概念
1
(1)
(2)
d(v1)=2
d(v2)=4
d(v3)=2
d(v4)=3
d(v5)=1
d(v6)=0
∑i=16d(vi)=2+4+2+3+1+0=12=2∗6=2∗m\stackrel{6}{\underset{i=1}{\sum}}d(v_i)=2+4+2+3+1+0=12=2*6=2*mi=1∑6d(vi)=2+4+2+3+1+0=12=2∗6=2∗m
(3)
奇度顶点的个数为2个。验证了:在任何图中,度数为奇数的顶点个数是偶数
(4)
无平行边。环为e2e_2e2 。孤立点为v6v_6v6 。悬挂顶点为v5v_5v5 。悬挂边为e4e_4e4
(5)
多重图:含平行边
简单图:不含平行边也不含环
G无平行边,G不是多重图。G含环,G不是简单图
2
由握手定理。∑i=16d(vi)=2∗m=24\stackrel{6}{\underset{i=1}{\sum}}d(v_i)=2*m=24i=1∑6d(vi)=2∗m=24。减去3*6度,还剩下6度,若剩下n-3个顶点均为2度时,n最小。计算可得G中至少有6个顶点
4
设:n阶无向图中,度数为k+1的顶点个数为x,度数为k的顶点个数为y。
由题可得
x+y=n
根据握手定理得
(k+1)*x+k*y=2*m
(k+1)*(x+y)-y=2*m
(k+1)*n-y=2*m
y=(k+1)*n-2*m
7
(1)
4阶自补图有一种非同构
5阶自补图有两种非同构
(2)
不存在3阶自补图:
3阶完全图一共有3条边。其生成子图,与其生成子图的补图,边数不同,不可能同构。
不存在6阶自补图:
6阶完全图一共有6*5/2=15条边。其生成子图,与其生成子图的补图,边数不同,不可能同构。
9
n为奇数,则n阶完全图每个顶点的度数为偶数。
若G中viv_ivi 的度数为奇数。根据补图的定义可得dG(vi)+dGˉ(vi)=dkn(vi)d_G(vi)+d_{\bar G}(v_i)=d_{k_n}(v_i)dG(vi)+dGˉ(vi)=dkn(vi) ,n阶完全图每个顶点的度数为偶数。则若Gˉ\bar GGˉ中viv_ivi 的度数为奇数。同理可推广至其他的点
可证,G与G的补图的奇度顶点的个数相等
11
(1)
4条不同的初级回路:ce3c,ee2de1e,bde1eb,baebce_3c,ee_2de_1e,bde_1eb,baebce3c,ee2de1e,bde1eb,baeb
5条不同的简单回路:ce3c,ede,bdeb,beab,baedebce_3c,ede,bdeb,beab,baedebce3c,ede,bdeb,beab,baedeb
(2)
a到d的短程线为:aee2daee_2daee2d,距离为d<a,d>=2d<a,d>=2d<a,d>=2
(3)
d到a的短程线为:de1ebade_1ebade1eba,距离为d<d,a>=3d<d,a>=3d<d,a>=3
(4)
D是单向连通图
经过每个顶点至少一次的通路:baee2dcbaee_2dcbaee2dc
12
D的邻接矩阵为
A1=[0100001111011000]A^1=\left[ \begin{matrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&0&0&0\\ \end{matrix} \right] A1=0011101001000110
A2=[0011210111110100]A^2=\left[ \begin{matrix} 0&0&1&1\\ 2&1&0&1\\ 1&1&1&1\\ 0&1&0&0\\ \end{matrix} \right] A2=0210011110101110
A3=[2101121122120011]A^3=\left[ \begin{matrix} 2&1&0&1\\ 1&2&1&1\\ 2&2&1&2\\ 0&0&1&1\\ \end{matrix} \right] A3=2120122001111121
A4=[1211222333232101]A^4=\left[ \begin{matrix} 1&2&1&1\\ 2&2&2&3\\ 3&3&2&3\\ 2&1&0&1\\ \end{matrix} \right] A4=1232223112201331
(1)
D中v1v_1v1到v4v_4v4长度为4的通路有多少条?
a14(4)=2a_{14}^{(4)}=2a14(4)=2,有两条
(2)
D中v1v_1v1到v1v_1v1长度为4的通路有多少条?
a11(3)=2a_{11}^{(3)}=2a11(3)=2,有两条
(3)
D中长度为4通路总数为多少?其中有多少条是回路?
总数为∑i,j4aij(4)=29\stackrel{4}{\underset{i,j}{\sum}}a_{ij}^{(4)}=29i,j∑4aij(4)=29条通路
其中∑i,j4aii(4)=6\stackrel{4}{\underset{i,j}{\sum}}a_{ii}^{(4)}=6i,j∑4aii(4)=6条为回路
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正则图为无向简单图,不可有平行边和环
有2种非同构情况
6和3,3