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矩阵分解算法--总结

QR分解 LU分解

本篇博客总结一下QR分解和LU分解，这些都是矩阵加速的操作，在slam里面还算是比较常用的内容，这个地方在isam的部分出现过。(当然isam也是一个坑，想要出点创新成果的话 可能是不太现实的 短期来讲 哈哈哈)

假定我们能把矩阵A写成下列两个矩阵相乘的形式：A=LU，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。这样我们可以把线性方程组Ax= b写成Ax= (LU)x = L(Ux) = b。令Ux = y，则原线性方程组Ax = b可首先求解向量y 使Ly = b，然后求解 Ux = y，从而达到求解线性方程组Ax= b的目的。（非常熟悉的 数值分析课上学的LU分解的形式）

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LD(LT)的形式，就是把上面的LU分解中拆出来一个倍数矩阵，然后我觉得没啥必要。在这里也放上。

定理：若对称矩阵A的各阶顺序主子式不为零时，则A可以唯一分解为A= LDLT，这里。

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下面是cholesky分解 读作乔列斯基分解， 栓Q 这些英文名字要是不会读的话 你在讲相关内容的时候就会显得很尴尬 哈哈哈 笑死。

Cholesky分解是一种分解矩阵的方法, 在线形代数中有重要的应用。Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积（那实数界来类比的话，此分解就好像求平方根）。与一般的矩阵分解求解方程的方法比较，Cholesky分解效率很高。

对于上面这段定义，让我认知扩充了。上学期学的数值分析里面我知道是转置矩阵，但是没想到是共轭转置矩阵。也就是说一开始我是不知道他还有个共轭的关系在里面的。行了，现在知道了。可能上学期学的内容都是定义在实数域上面的，那么共轭的概念就逐渐被弱化了。现在记住了，原来是共轭转置矩阵。心里默念三遍 hhh

QR分解

矩阵的QR分解是指，可以将矩阵A分级成一个正交阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。实际中，QR分解经常被用来解线性最小二乘问题。

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上面这个就是QR分解，感觉这些的话 会用就行，知道谁的速度快，然后什么情况下的矩阵适合什么样的方法即可。

SVD分解

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说白了，这里的奇异值就是特征值的含义。那么这个矩阵的话，按照我本科的学习思路来说，就是由特征向量和特征值来共同组成的。就是那一套，莱姆大E - A的行列式，求特征值，特征向量，然后就写出来。现在的话，对特征值也是有一定的理解了。特征值可以反应数据的离散情况，也反映了数据的分布 同时可能也反映了数据的趋势。好了，这个特征值的话还是很有用的。在机器学习的一个面试题里面，特征值大的方向，数据会越离散，反之数据会越集中。当然我们研究的话，应该是研究离散的，因为这样好区分。前面这句话主要针对分类来说，因为你的数据离散了，可区分性好了以后，那么我们做分类的效果才显著，这样的研究才有意义。

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上面这幅图的话 主要说了广义逆矩阵的事情，为啥说是广义呢，因为平时我们定义的逆矩阵一定是一个方阵，这里不是方阵了，那么就称作是广义逆矩阵了。

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本科的时候我们叫他乔丹分解，哈哈哈 就是aj的那个乔丹。笑死。

这个没啥好说的，就是jardon块的构造，这个也是根据特征值的次数来进行构造的。可能再看一看就能想起来相关内容了，所以这里省略。（主要是slam里面好像并不提及这个东西，反正我是没见过 hhh）

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这里有一个比较。笑死，LU分解最快了。

那在这里对矩阵的分解进行一个总结。也就是说平时我们在解方程组的时候，如果求逆，会加大计算量。我们这时会选择矩阵分解的方法来进行求逆的代替。然后进而求得方程的解。笑死 我想起来上学期的考试，在线LU分解 在线cholesky分解，直接写结果，真的非常方便。如果按照它们的定义一步步地计算的话，我估计最起码20分钟 在不算错的情况下。行了 本篇就讲到这里，这个矩阵分解的内容，opencv也进行了相应地包装。在这里的话不必过多赘述了。栓Q，本篇到此结束。