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第二门课: 改善深层神经网络：超参数调试、正 则 化 以 及 优 化 (Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)

第三周： 超 参 数 调 试 、 Batch 正 则 化 和 程 序 框 架（Hyperparameter tuning）

3.8 Softmax 回归（Softmax regression）

到目前为止，我们讲到过的分类的例子都使用了二分分类，这种分类只有两种可能的标记 0 或 1，这是一只猫或者不是一只猫，如果我们有多种可能的类型的话呢？有一种 logistic回归的一般形式，叫做 Softmax 回归，能让你在试图识别某一分类时做出预测，或者说是多种分类中的一个，不只是识别两个分类，我们来一起看一下。

假设你不单需要识别猫，而是想识别猫，狗和小鸡，我把猫加做类 1，狗为类 2，小鸡是类 3，如果不属于以上任何一类，就分到“其它”或者说“以上均不符合”这一类，我把它叫做类 0。这里显示的图片及其对应的分类就是一个例子，这幅图片上是一只小鸡，所以是类3，猫是类 1，狗是类 2，我猜这是一只考拉，所以以上均不符合，那就是类 0，下一个类 3，以此类推。我们将会用符号表示，我会用大写的C来表示你的输入会被分入的类别总个数，在这个例子中，我们有 4 种可能的类别，包括“其它”或“以上均不符合”这一类。当有 4 个分类时，就是 0、1、2、3。

在这个例子中，我们将建立一个神经网络，其输出层有 4 个，或者说C个输出单元，因此n，即输出层也就是L层的单元数量，等于 4，或者一般而言等于C。我们想要输出层单元的数字告诉我们这 4 种类型中每个的概率有多大，所以这里的第一个节点(最后输出的第 1个方格+圆圈)输出的应该是或者说我们希望它输出“其它”类的概率。在输入X的情况下，这个(最后输出的第 2 个方格+圆圈)会输出猫的概率。在输入X的情况下，这个会输出狗的概率(最后输出的第 3 个方格+圆圈)。在输入X的情况下，输出小鸡的概率（最后输出的第 4 个方格+圆圈），我把小鸡缩写为 bc（baby chick）。因此这里的$\hat{y}$将是一个4 × 1维向量，因为它必须输出四个数字，给你这四种概率，因为它们加起来应该等于 1，输出中的四个数字加起来应该等于 1。

让你的网络做到这一点的标准模型要用到 Softmax 层，以及输出层来生成输出，让我把式子写下来，然后回过头来，就会对 Softmax 的作用有一点感觉了。

在神经网络的最后一层，你将会像往常一样计算各层的线性部分，$z^{[l]}$这是最后一层的z变量，记住这是大写L层，和往常一样，计算方法是$z^{[l]}=W^{[l]}{a}^{[L-1]}+b^{[l]}$，算出了𝑧之后，你需要应用 Softmax 激活函数，这个激活函数对于 Softmax 层而言有些不同，它的作用是这样的。首先，我们要计算一个临时变量，我们把它叫做 t，它等于$e^{z^{[l]}}$，这适用于每个元素，而这里的$z^{[l]}$，在我们的例子中，$z^{[l]}$是 4×1 的，四维向量$t=e^{z^{[l]}}$，这是对所有元素求幂，t也是一个 4×1 维向量，然后输出的$a^{[l]}$，基本上就是向量𝑡，但是会归一化，使和为 1。因此$a^{[l]}=\frac{e^{z^{[l]}}}{{\sum }_{i=1}^4{t}_i}$，换句话说，$a^{[l]}$也是一个 4×1 维向量，而这个四维向量的第i个元素，我把它写下来，$a_i^{[l]}=\frac{t_i}{{\sum }_{i=1}^4{t}_i}$，以防这里的计算不够清晰易懂，我们马上会举个例子来详细解释。

我们来看一个例子，详细解释，假设你算出了$z^{[l]}，z^{[l]}$是一个四维向量，假设为$z^{[l]}=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\\ 3\end{array}\right]$，我们要做的就是用这个元素取幂方法来计算𝑡，所以$t=\left[\begin{array}{c}{e}^5\\ e^2\\ e^{-1}\\ e^3\end{array}\right]$，如果你按一下计算器就会得到以下值$t=\left[\begin{array}{c}148.4\\ 7.4\\ 0.4\\ 20.1\end{array}\right]$，我们从向量𝑡得到向量$a^{[l]}$就只需要将这些项目归一化，使总和为 1。如果你把𝑡的元素都加起来，把这四个数字加起来，得到 176.3，最终$a^{[l]}=\frac{t}{176.3}$。

例如这里的第一个节点，它会输出 $\frac{e^5}{176.3}$= 0.842，这样说来，对于这张图片，如果这是你得到的𝑧值($\left[\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\\ 3\end{array}\right]$)，它是类 0 的概率就是 84.2%。下一个节点输出 $\frac{e^2}{176.3}$= 0.042，也就是 4.2%的几率。下一个是 $\frac{e^{-1}}{176.3}$= 0.002。最后一个是 $\frac{e^3}{176.3}$= 0.114，也就是 11.4%的概率属于类 3，也就是小鸡组，对吧？这就是它属于类 0，类 1，类 2，类 3 的可能性。

神经网络的输出$a^{[l]}$，也就是$\hat{y}$，是一个 4×1 维向量，这个 4×1 向量的元素就是我们算出来的这四个数字($\left[\begin{array}{c}0.842\\ 0.042\\ 0.002\\ 0.114\end{array}\right]$)，所以这种算法通过向量$z^{[l]}$计算出总和为 1 的四个概率。

如果我们总结一下从$z^{[l]}$到$a^{[l]}$的计算步骤，整个计算过程，从计算幂到得出临时变量𝑡，再归一化，我们可以将此概括为一个 Softmax 激活函数。设$a^{[l]}=g^{[l]}$($z^{[l]}$)，这一激活函数的与众不同之处在于，这个激活函数𝑔 需要输入一个 4×1 维向量，然后输出一个 4×1 维向量。之前，我们的激活函数都是接受单行数值输入，例如 Sigmoid 和 ReLu 激活函数，输入一个实数，输出一个实数。Softmax 激活函数的特殊之处在于，因为需要将所有可能的输出归一化，就需要输入一个向量，最后输出一个向量。

那么 Softmax 分类器还可以代表其它的什么东西么？我来举几个例子，你有两个输入$x_1$，$x_2$，它们直接输入到 Softmax 层，它有三四个或者更多的输出节点，输出$\hat{y}$，我将向你展示一个没有隐藏层的神经网络，它所做的就是计算$z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}$，而输出的出$a^{[l]}$，或者说$\hat{y}$，$a^{[l]}=y=g(z[l])$，就是$z^{[1]}$的 Softmax 激活函数，这个没有隐藏层的神经网络应该能让你对 Softmax 函数能够代表的东西有所了解。

这个例子中（左边图），原始输入只有$x_1$和$x_2$，一个𝐶 = 3个输出分类的 Softmax 层能够代表这种类型的决策边界，请注意这是几条线性决策边界，但这使得它能够将数据分到 3个类别中，在这张图表中，我们所做的是选择这张图中显示的训练集，用数据的 3 种输出标签来训练 Softmax 分类器，图中的颜色显示了 Softmax 分类器的输出的阈值，输入的着色是基于三种输出中概率最高的那种。因此我们可以看到这是 logistic 回归的一般形式，有类似线性的决策边界，但有超过两个分类，分类不只有 0 和 1，而是可以是 0，1 或 2。

这是（中间图）另一个 Softmax 分类器可以代表的决策边界的例子，用有三个分类的数据集来训练，这里（右边图）还有一个。对吧，但是直觉告诉我们，任何两个分类之间的决策边界都是线性的，这就是为什么你看到，比如这里黄色和红色分类之间的决策边界是线性边界，紫色和红色之间的也是线性边界，紫色和黄色之间的也是线性决策边界，但它能用这些不同的线性函数来把空间分成三类。

我们来看一下更多分类的例子，这个例子中（左边图）𝐶 = 4，因此这个绿色分类和Softmax 仍旧可以代表多种分类之间的这些类型的线性决策边界。另一个例子（中间图）是𝐶 = 5类，最后一个例子（右边图）是𝐶 = 6，这显示了 Softmax 分类器在没有隐藏层的情况下能够做到的事情，当然更深的神经网络会有𝑥，然后是一些隐藏单元，以及更多隐藏单元等等，你就可以学习更复杂的非线性决策边界，来区分多种不同分类。

我希望你了解了神经网络中的 Softmax 层或者 Softmax 激活函数有什么作用，下一个视频中，我们来看一下你该怎样训练一个使用 Softmax 层的神经网络。