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一、二叉搜索树

1.什么是二叉搜索树

2.二叉搜索树的实现

（1）构建类

（2）查找函数

（3）插入函数

（4）删除函数

（5）补齐默认成员函数

（6）中序遍历函数

二、AVL树

1.什么是AVL树

2.AVL树的简易实现

（1）构建类

（2）插入函数实现准备

（3）AVL树的检验

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一、二叉搜索树

1.什么是二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree）是一种特殊的二叉树，它必须满足以下性质：

• 若左子树不为空，左子树中所有节点的键值都小于根节点的值。
• 若右子树不为空，右子树中所有节点的键值都大于根节点的值。
• 左右子树也分别为二叉搜索树。
• 空树也是搜索二叉树

简单地说，就是这个二叉树的任意一棵子树，它的左子树根节点值小于它的根节点值，它的右子树根节点值大于它的根节点值，这样的特性使得二叉搜索树的中序遍历结果是一个升序序列。这个特性使得二叉搜索树在搜索、插入和删除操作时具有高效性能，同时后面的AVL树和红黑树等许多数据结构也是基于它而实现。

2.二叉搜索树的实现

（1）构建类

依旧换汤不换药，在Binary Search Tree.h头文件中定义类，在test.cpp中写测试代码。

构建好下面的两个类，一个类是二叉树的节点类，另一个是二叉搜索树的这个类，在编写过程中注意包含需要的头文件。

#include<assert.h>
namespace my_BST
{template<class K>struct BSTreeNode{K _key;struct BSTreeNode* _left;struct BSTreeNode* _right;BSTreeNode(const K& x):_key(x), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K>class BSTree{typedef BSTreeNode<K> node;public://成员函数private:node* _root;//搜索二叉树的根节点};
}

（2）查找函数

在一各二叉搜索树中查找数据很简单的，给定一个确定的值，先和该棵树的根进行比较，如果这个值小于根节点保存的值，那么就需要到它的左子树去寻找，如果这个值大于根节点，那么就需要到右子树去寻找。之后，再在新的子树中进行比较直到找到该值或者找到空位置，前者表示能找到，后者就表示找不到了。

bool find(const K& key)
{node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key)//小于根左走{cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key)//大于根右走{cur = cur->_right;}else{return true;//相等返回真}}return false;//找到空位置，肯定就不存在这个值
}

还有另一种递归写法：

bool findR(const K& key, node* root)
{if(root == nullptr)return false;    if(key < root->_key)findR(root->_left);else if(key > root->_key)findR(root->_right);elsereturn true;    
}

但是如果我们直接将这个函数递归函数写到public的成员函数中，我们会发现一个巨大的问题：我们需要传递二叉树的_root指针，而这个指针是内部封装的内容，用户层看不到。那么我们就需要再使用一次封装，将上面的函数定义为_findR函数，在类公共成员函数中使用findR函数调用它即可。

template<class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> node;
public:bool findR(const K& key){_findR(key, _root);}
private:bool _findR(const K& key, node* root){if (root == nullptr)return false;else if (key < root->_key)return _findR(key, root->_left);else if (key > root->_key)return _findR(key, root->_right);elsereturn true;}node* _root;
};

后面的我就不再将两个函数写在类中了。

（3）插入函数

插入和查找非常相似，通过相同的查找策略，这次我们需要找到空节点，然后在空节点位置新建节点，找到同样的元素就不再插入了。

bool insert(const K& key)
{if (_root == nullptr)//空树就直接插入{_root = new node(key);return true;}node* parent = nullptr;node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key)//小于根左走{parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key)//大于根右走{parent = cur;cur = cur->_right;}else//找到了需要插入的值，搜索二叉树的元素是不能重复的，插入失败{return false;}}cur = new node(key);if (key < parent->_key)//key小于根做左节点{parent->_left = cur;}else//大于根做右节点{parent->_right = cur;}return true;
}

插入函数同样也可以写成递归的函数

bool insertR(const K& key)
{return _insertR(key, _root);
}bool _insertR(const K& key, node* root)
{if (root == nullptr){root = new node(key);return true;}else if (key < root->_key)//小于根向左走{return _insertR(key, root->_left);}else if (key > root->_key)//大于根向右走{return _insertR(key, root->_right);}else//找到相同的元素{return false;}
}

（4）删除函数

删除函数的实现比较复杂，主要分为三种情况：

• 要删除的节点只有右子节点或既没有左子节点也没有右子节点

如果是叶子节点或者只有右子节点的节点，就可以先将该节点的父节点与它的右子节点进行链接，使这个右节点成为父节点的右节点，然后将该节点删除。同时被删除的也可能是根节点，需要判断并特殊处理。

• 要删除的节点只有左子节点

如果节点只有左子节点，可以将该节点的左子节点与其父节点进行链接，使这个左节点成为父节点的右节点（由于二叉搜索树的特性，右子树的内容都会比根大，所以右子树的左子树也可以做根的右子树），然后将该节点删除。同时被删除的也可能是根节点，需要判断并特殊处理。

• 要删除的节点有左、右子节点

此时需要寻找该节点右子树的最小值，将这个最小节点的值覆盖该节点，然后需要被被删除的节点就转化为了右子树的最左节点（右子树一直向左走直到没有左节点就是最小节点，此时满足情况一的删除条件）此时就可以使用原先的代码了，但此时不需要特殊处理了，因为被删除的节点一定不是根节点。

bool Erase(const K& key)
{//一共分为三种情况：//要删除的节点只有右子节点或既没有左子节点也没有右子节点//要删除的节点只有左子节点//要删除的节点有左、右子节点//空树不能删除assert(_root != nullptr);//找寻该节点node* parent = nullptr;node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key)//小于根左走{parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key)//大于根右走{parent = cur;cur = cur->_right;}else{//找到了该节点//节点只有右子结点或既没有左子节点也没有右子节点if (cur->_left == nullptr){//根节点删除if (cur == _root)//或if(parent == nullptr){_root = _root->_right;}//非根节点删除else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else if (parent->_right == cur){parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//节点只有左子节点else if (cur->_right == nullptr){//根节点删除if (cur == _root)//或if(parent == nullptr){_root = _root->_right;}//非根节点删除else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else if (parent->_right == cur){parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}//节点左、右子节点都有else{//找右子树的最小节点node* parent = cur;node* min_right = cur->_right;while (min_right->_left){parent = min_right;min_right = min_right->_left;}//覆盖cur->_key = min_right->_key;//托孤//由于min_right是右子树的最小节点，所以这个节点一定是一直向左走得到的//所以，当找到min_right时，它一定没有左子树，所以只需要托孤自己的右子节点即可if (parent->_left == min_right){parent->_left = min_right->_right;}else if (parent->_right == min_right){parent->_right = min_right->_right;}delete min_right;}return true;}}
}

删除函数也有递归写法

首先先通过递归找到需要删除的节点，这个节点同样分为上面的三种情况，也同样按照上面的方式删除。不过注意我们此时传递的是引用，这就代表它传递的不只是子节点的地址，它也是它父节点的左或右子节点的地址（取决于该节点为左节点还是右节点），直接将引用进行赋值就改变了父节点的指向。如果我们使用传值的方式传递对象， 此时改变的只是这个临时对象，而不会改变父节点的指向。

BSTree(const BSTree<K>& t)
{_root = Copy(t._root);
}BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{swap(_root, t._root);return *this;
}~BSTree()
{Destroy(_root);_root = nullptr;
}node* Copy(node* root)
{if (root == nullptr) //空树直接返回return nullptr;node* copyNode = new node(root->_key); //拷贝根结点copyNode->_left = Copy(root->_left); //拷贝左子树copyNode->_right = Copy(root->_right); //拷贝右子树return copyNode; //返回拷贝的树
}void Destroy(node* root)
{if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root
}

（5）补齐默认成员函数

包括赋值运算符重载、析构函数和拷贝构造函数，都很简单

BSTree(const BSTree<K>& t)
{_root = Copy(t._root);
}BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{swap(_root, t._root);return *this;
}~BSTree()
{Destroy(_root);_root = nullptr;
}node* Copy(node* root)
{if (root == nullptr) //空树直接返回return nullptr;node* copyNode = new node(root->_key); //拷贝根结点copyNode->_left = Copy(root->_left); //拷贝左子树copyNode->_right = Copy(root->_right); //拷贝右子树return copyNode; //返回拷贝的树
}void Destroy(node* root)
{if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root
}

（6）中序遍历函数

这个函数就很简单了，它的实现是用于检验二叉搜索树的中序遍历是否为升序。

void Inorder()
{_Inorder(_root);
}void _Inorder(const node* root)
{if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);std::cout << root->_key << ' ';_Inorder(root->_right);
}

二、AVL树

1.什么是AVL树

二叉搜索树是有其局限性的，它的查找数据的时间复杂度为O(N)。这里你可能会不理解，二叉搜索树每一层数据成倍数级上涨，如果有三层数据最多查找三次就够了。为什么不是O(logN)呢？

其实这种想法是没有问题的，但是我们不妨设想一下一些极端的情况，比如说我们按降序插入多个数字，那么这些数字都会插入到左树，就导致这个二叉搜索树一边十分地高，近似一个顺序排列的数组，这也是二叉搜索树最糟糕的状态，查找的时间复杂度就是O(N)。一个程序的时间复杂度应该是分析它耗时最长的情况，所以时间复杂度为O(N)。

此时AVL树就出场了，AVL树就是为了解决二叉搜索树两子树高度差别过大的问题而建立的。它可以通过旋转的方式在一侧子树过高时降低它，以尽可能达到二叉搜索树搜索数据的最佳状态。故，它的中文名称叫做平衡二叉搜索树。

2.AVL树的简易实现

（1）构建类

AVL树调节平衡有很多种方式，我们使用平衡因子法。

namespace MY_AVLTree
{template<class K, class V>struct AVLTreeNode{pair<K, V> _kv;//pair是一个由两个数据组成的结构体AVLTreeNode* _parent;//父指针AVLTreeNode* _left;//左子树指针AVLTreeNode* _right;//右子树指针int _bf; //平衡因子AVLTreeNode(pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}};template<class K, class V>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public://构造函数AVLTree():_root(nullptr){}private:Node* _root;};
}

（2）插入函数实现准备

在AVL树的实现中，我们只学习插入函数。

它的实现主要包括三个部分：查找需要插入空位置 -> 更新平衡因子 -> 在平衡因子出现大于1或小于1的情况下对树进行旋转。

第一步：查找空位置

bool insert(pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr)//树中还没有元素，直接插入即可{_root = new Node(kv);return true;}//定义一个parent指针和一个cur指针不断向下寻找可以插入的节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur)//小于往左走，大于往右走{if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//此时的cur就是可以插入的空位置//…………//接下来的函数操作//…………     
}

第二步：更新平衡因子

平衡因子是调节树高的重要变量，每一个AVL树的节点都有一个平衡因子，它是该节点右子树高度减去左子树高度的值，表明了右树比左树高多少。

更新平衡因子是一个十分重要的过程，平衡因子的调节遵循以下条件：

• 新增节点在右子树，右子树高度加一，对应父节点平衡因子加一；新增在左子树，左子树高度加一，对应父节点平衡因子减一
• 新增后被插入节点的父节点平衡因子如果为0，则表明要么是右树不为空且节点插入到左树，要么是左树不为空且节点插入到右树。相当于插入一个节点补齐了子树中较矮的一侧，此时父节点的子树高度不变，也就不需要继续向上调节平衡因子
• 新增后被插入节点的父节点平衡因子如果为1或-1，则表明本来平衡的树在一侧又插入了一个节点，这次父节点子树的高度就被改变了，需要继续向上调整平衡因子
• 当平衡因子大于等于2或者小于等于-2时，此时该节点的左树和右树的高度差2，此时需要旋转才可以降低较高的子树高度

bool insert(pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr)//树中还没有元素，直接插入即可{_root = new Node(kv);return true;}//定义一个parent指针和一个cur指针不断向下寻找可以插入的节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//找到了空位置cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;//插入数据cur->_parent = parent;//把新插入元素的父节点与其链接起来}else{parent->_right = cur;//插入数据cur->_parent = parent;//把新插入元素的父节点与其链接起来}//更新平衡因子while (parent){//新增的节点在左子树还是右子树if (parent->_right == cur){//新增在右子树，右子树高度加一，对应父节点平衡因子加一++parent->_bf;}else if (parent->_left == cur){//新增在左子树，左子树高度加一，对应父节点平衡因子减一--parent->_bf;}//更新子树平衡因子，根据子树高度是否变化，判断是否需要继续向上更新平衡因子和旋转当前树//1.parent->_bf == 0说明之前parent->_bf一定是 1 或者 -1//说明之前parent一边高一边低，这次插入填上矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要继续往上更新//2.parent->_bf == 1 或 -1 说明之前是parent->_bf == 0，两边一样高，现在插入一边更高了，//parent所在子树高度变了，继续往上更新//3.parent->_bf == 2 或 -2，说明之前parent->_bf == 1 或者 -1，现在插入严重不平衡，违反规则//就地处理--旋转if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转子树if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//右树高{RotateL(parent);//左单旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//左树高{RotateR(parent);//右单旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);//左右双旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);//右左双旋}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}
}

第三步：四种旋转

• 左单旋

左单旋主要用于下面的情况：右侧高且从需要被旋转的树根节点开始有连续的三个右节点

对于下面的情况就是将较高的3节点转移到6节点的左子节点然后将b子树变为3节点的右子树，最后调节平衡因子

代码实现：

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* SubR = parent->_right;//必不为空Node* SubRL = SubR->_left;//可能为空Node* ppnode = parent->_parent;//保存根的父节点parent->_right = SubRL;if (SubRL)SubRL->_parent = parent;SubR->_left = parent;parent->_parent = SubR;if (ppnode == nullptr){_root = SubR;SubR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = SubR;}else{ppnode->_right = SubR;}}SubR->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

• 右单旋

右单旋主要用于下面的情况：左侧高且从需要被旋转的树根节点开始有连续的三个左节点

对于下面的情况就是将较高的3节点转移到1节点的右子节点然后将b子树变为3节点的左子树，最后调节平衡因子

代码实现：

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* SubL = parent->_left;Node* SubLR = SubL->_right;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_left = SubLR;if (SubLR)SubLR->_parent = parent;SubL->_right = parent;parent->_parent = SubL;if (ppnode == nullptr){SubL->_parent = nullptr;_root = SubL;}else{if (ppnode->_left == SubL){ppnode->_left = SubL;}else{ppnode->_right = SubL;}}SubL->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

• 左右双旋

左右双旋主要用于下面的情况：从需要被旋转的树根节点的子节点开始存在一个左子节点，再在这个左子节点接上右子节点

对于下面的情况就是以1为根节点进行左单旋，然后就会转化为右单旋的情况，再对以3为根做右单旋，最后根据下面的三种情况调整平衡因子

代码实现：

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* SubL = parent->_left;Node* SubLR = SubL->_right;int bf = SubLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//插在b子树if (bf == -1){parent->_bf = 1;SubL->_bf = 0;SubLR->_bf = 0;}//插在c子树else if (bf == 1){parent->_bf = 0;SubL->_bf = -1;SubLR->_bf = 0;}//本身是新增else if (bf == 0){parent->_bf = 0;SubL->_bf = 0;SubLR->_bf = 0;}//错误情况else{assert(false);}
}

• 右左双旋

右左双旋主要用于下面的情况：从需要被旋转的树根节点的子节点开始存在一个右子节点，再在这个右子节点接上左子节点

对于下面的情况就是以4为根节点的树进行右单旋，然后就会转化为左单旋的情况，再对以2为根的树做左单旋，最后根据下面的三种情况调整平衡因子

代码实现：

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* SubR = parent->_right;Node* SubRL = SubR->_left;int bf = SubRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//插在b子树if (bf == -1){parent->_bf = 0;SubR->_bf = 1;SubRL->_bf = 0;}//插在c子树else if (bf == 1){parent->_bf = -1;SubR->_bf = 0;SubRL->_bf = 0;}//本身是新增else if (bf == 0){parent->_bf = 0;SubR->_bf = 0;SubRL->_bf = 0;}//错误情况else{assert(false);}
}

（3）AVL树的检验

AVL树的检验

bool IsBalance()
{return IsBalance(_root);
}bool IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr){return true;//空树一定是AVL树}int leftHeight = Height(root->_left);//计算左树的高度int rightHeight = Height(root->_right);//计算右树的高度if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)//平衡因子必须满足右树高减左树高{cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2//左树和右树的高度差绝对值不超过1&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);
}