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1、处理问题
单纯形法，主要用于解决线性规划问题。
线性规划问题：指目标函数和约束条件皆为线性的最优化问题。
2、预备知识
| 1：线性规划的约束条件的所有点组成的集合即为可行域，可行域是一个凸集，且顶点有限。 |
| 2：如果线性规划的可行域有界，则可行域的顶点对应可行解，则最优解必然在可行域的顶点上。 |
| 3：线性规划问题局部最优一定是全局最优，因为线性规划是一个凸优化问题，可行域是一个凸集。 |
| 4：线性规划的标准形式特点：约束条件均为等于约束；决策变量取值为非负；右端常数非负。 |
| 5：线性规划标准型表达式：
|
| 6：检验数公式：
|
| 7：初始可行解定理：构建线性规划标准型、找到基本可行解。 |
| 8：最优性检验：针对min问题，所有检验数≥0时最优；针对max问题，所有验数≤0的时最优。 |
9：入基、出基规则：针对min问题，选择检验数<0的变量入基， 最小的入基；针对max问题，选择检验数>0的变量入基， 最小的入基。 |
3、处理流程
- 有选择地取基本可行解，而不是枚举所有的解。
- 根据初始可行解定理，从可行域的一个顶点出发。
- 根据最优性检验，判断当前解是不是最优的。如果是，则停止，如果不是，则3。
- 根据入基、出基规则，沿着可行域的边界移到另一个相邻的顶点，回到2。
4、举个例子
5、代码实现
# Simplex Method Algorithm'''
max 2 * x_1 + 3 * x_2
s.t.x_1 + 2 * x_2 <= 84 * x_1 <= 164 * x_2 <= 12x_1, x_2 >= 0standard form
max 2 * x_1 + 3 * x_2
s.t.x_1 + 2 * x_2 + x_3 == 84 * x_1 + x_4 == 164 * x_2 + x_5 == 12x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 >= 0'''import pandas as pd
import numpy as np# Construct the initial feasible solution and calculate:C、C_B、C_N；A、B、N；b；basic、nobasic；sigma、max_sigma；nobasic = [0,1]
basic = [2,3,4]C = np.array([2,3,0,0,0]).astype(float)
C_B = np.array([0,0,0]).astype(float)
C_N = np.array([2,3]).astype(float)A = np.array([[1,2,1,0,0],[4,0,0,1,0],[0,4,0,0,1]]).astype(float)
B = np.array([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]).astype(float)
N = np.array([[1,2],[4,0],[0,4]]).astype(float)b = np.array([8,16,12]).astype(float)x_opt = np.array([0,0,0,0,0]).astype(float)
z_opt = 0row_num = len(A)
column_num = len(A[0])sigma = C_N - np.dot(np.dot(C_B,B),N)
print('sigma:',sigma)
max_sigma = max(sigma)eps = 0.001
iterNum = 1while max_sigma >= eps:#calculate entering basic variable and outgoing variableenter_var_index = nobasic[np.argmax(sigma)]print('enter_var_index:',enter_var_index)min_ration = 1000leave_var_index = 0for i in range(row_num):print('b:',b[i],'\t A:',A[i][enter_var_index],'\t ration:',b[i]/A[i][enter_var_index])if A[i][enter_var_index] == 0:continueelif b[i]/A[i][enter_var_index] > 0 and b[i]/A[i][enter_var_index] < min_ration:min_ration = b[i]/A[i][enter_var_index] leave_var_index = ileave_var = basic[leave_var_index]basic[leave_var_index] = enter_var_indexnobasic.remove(enter_var_index)nobasic.append(leave_var)nobasic.sort()# Gaussian elimination iterationpivot_number = A[leave_var_index][enter_var_index]for col in range(column_num):A[leave_var_index][col] = A[leave_var_index][col] / pivot_numberb[leave_var_index] = b[leave_var_index] / pivot_numberfor row in range(row_num):if row != leave_var_index:factor = -A[row][enter_var_index] / 1.0for col in range(column_num):A[row][col] = A[row][col] + factor * A[leave_var_index][col]b[row] = b[row] + factor * b[leave_var_index]for i in range(len(nobasic)):var_index = nobasic[i]C_N[i] = C[var_index]for i in range(len(basic)):var_index = basic[i]C_B[i] = C[var_index]for i in range(row_num):for j in range(len(nobasic)):var_index = nobasic[j]N[i][j] = A[i][var_index]for i in range(len(basic)):col = basic[i]for row in range(row_num):B[row][i] = A[row][col]# update sigmasigma = C_N - np.dot(np.dot(C_B,B),N)max_sigma = max(sigma)iterNum += 1# Calculate the optimal solution
for i in range(len(sigma)):if sigma[i] == 0:solution_status = 'Alternative optimal solution'breakelse:solution_status = 'Optimal'x_basic = np.dot(B,b)
x_opt = np.array([0.0]*column_num).astype(float)
for i in range(len(basic)):basic_var_index = basic[i]x_opt[basic_var_index] = x_basic[i]
z_opt = np.dot(np.dot(C_B,B),b)print('Simplex iteration:',iterNum)
print('objective:',z_opt)
print('optimal solution:',x_opt)#输出：
#b: 16.0 A: 0.0 ration: inf
#b: 12.0 A: 4.0 ration: 3.0
#enter_var_index: 0
#b: 2.0 A: 1.0 ration: 2.0
#b: 16.0 A: 4.0 ration: 4.0
#b: 3.0 A: 0.0 ration: inf
#enter_var_index: 4
#b: 2.0 A: -0.5 ration: -4.0
#b: 8.0 A: 2.0 ration: 4.0
#b: 3.0 A: 0.25 ration: 12.0
#Simplex iteration: 4
#objective: 14.0
#optimal solution: [4. 2. 0. 0. 4.]