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题目

在本题中，我们讨论再生PDF。回顾前面

其中分母与无关。如果选择一个，使得它与相乘时，我们得到与相同形式的PDF，那么后验PDF 将有和相同的形式。例10.1的高斯PDF正是这样的一种情况。现在假设在条件下的的PDF是指数形式：

其中是条件独立的（参见习题10.2）。接着，假设伽马先验PDF

其中, ，求后验PDF。把它与先验PDF相比较。这种PDF在该形势下是伽马的，称为共轭先验PDF。

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解答

根据是条件独立的，因此：

如果记：

那么：

因此：

带入后得到：

 

接下来，关键是求分母的积分，我们通过已知：

因此：

因此：

此时，如果令：

那么上式变换为：

也就是：

把上述积分代入得到：

最终得到：

也就是：

与对比后可以发现也是伽马分布，其中仅仅是参数发生了变化。

在这种情况下，我们可以称先验和后验为共轭分布，而此时先验称为共轭先验。