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1. BLEU（Bilingual Evaluation Understudy）

目标：衡量生成文本和参考文本之间的词汇相似性。

计算步骤：

1. N-gram 匹配：

   • 将生成文本和参考文本分解成 1-gram、2-gram、…、N-gram（通常取到 4-gram）。
   • 统计生成文本中的 N-gram 是否出现在参考文本中。

2. 精确匹配率：

   • 对每个 N-gram，计算生成文本中匹配的数量与总数量的比值：
     $${\text{Precision}}_n=\frac{\text{生成文本中匹配的 N-gram 数}}{\text{生成文本中的 N-gram 总数}}$$

3. 加权平均：

   • 对不同的 N-gram 精确率取加权几何平均（权重通常相等）：
     $${\text{BLEU}}_N=\exp \left(\sum _{n=1}^N{w}_n\cdot \log ({\text{Precision}}_n)\right)$$
     其中，$w_n=\frac{1}{N}$。

4. 长度惩罚：

   • 如果生成文本的长度与参考文本长度差距过大，BLEU 分数会受到惩罚：
     $$\text{BP}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{生成文本长度}>\text{参考文本长度}\\ \exp \left(1-\frac{\text{参考文本长度}}{\text{生成文本长度}}\right),& \text{否则}\end{array}$$

5. 最终公式：
   $$\text{BLEU}=\text{BP}\cdot \exp \left(\sum _{n=1}^N{w}_n\cdot \log ({\text{Precision}}_n)\right)$$

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2. ROUGE（Recall-Oriented Understudy for Gisting Evaluation）

目标：衡量生成文本覆盖参考文本的程度，更关注召回率。

主要变体：

1. ROUGE-N（基于 N-gram 的召回率）：

   • 计算生成文本中匹配的 N-gram 占参考文本中 N-gram 的比例：
     $$\text{ROUGE-N}=\frac{\text{匹配的 N-gram 数量}}{\text{参考文本中的 N-gram 总数}}$$

2. ROUGE-L（基于最长公共子序列的匹配）：

   • 计算生成文本与参考文本的最长公共子序列（LCS），然后基于 LCS 的长度计算召回率和精确率：
     $$R=\frac{\text{LCS}}{\text{参考文本长度}},P=\frac{\text{LCS}}{\text{生成文本长度}}$$
     $$\text{ROUGE-L}=\frac{(1+{\beta }^2)\cdot P\cdot R}{R+{\beta }^2\cdot P}$$
     其中，$\beta$ 是召回权重。

3. ROUGE-S（基于跳跃的二元词对）：

   • 计算生成文本和参考文本中，所有词对的匹配情况。

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3. METEOR（Metric for Evaluation of Translation with Explicit ORdering）

目标：解决 BLEU 无法捕获语义相似性和顺序的重要性问题。

计算步骤：

1. 匹配策略：

   • 包括词形匹配（exact）、同义词匹配（synonymy）、词干匹配（stemming）。
   • 对生成文本中的每个词，找出参考文本中最优匹配。

2. 精确率与召回率：

   • 计算生成文本与参考文本的匹配精度（P）和召回率（R）：
     $$P=\frac{\text{匹配的词数}}{\text{生成文本的总词数}},R=\frac{\text{匹配的词数}}{\text{参考文本的总词数}}$$

3. 调和平均：

   • 对 P 和 R 使用 F1 分数加权：
     $$F=\frac{(1+{\beta }^2)\cdot P\cdot R}{R+{\beta }^2\cdot P}$$

4. 惩罚因子：

   • 考虑词序对齐情况，加入惩罚因子 (P_{\text{penalty}})，对不连贯的匹配施加惩罚：
     $$\text{Penalty}=\gamma \cdot {\left(\frac{\text{chunk 数量}}{\text{匹配词数}}\right)}^3$$

5. 最终分数：
   $$\text{METEOR}=F\cdot (1-\text{Penalty})$$

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4. Perplexity

目标：衡量语言模型生成文本的连贯性和预测能力，表示模型对句子的不确定性。

计算公式：

• 对于语言模型给定的句子 $w_1,w_2,\dots ,w_N$，Perplexity 定义为：
  $$\text{Perplexity}=2^{-\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{\log }_{2}P(w_i|w_1,\dots ,w_{i-1})}$$

解释：

1. 概率计算：

   • $P(w_i|w_1,\dots ,w_{i-1})$ 表示模型预测第 $i$ 个词的概率。
   • 高概率（模型更确定）对应低 Perplexity。

2. 直观意义：

   • Perplexity 越低，说明模型越能有效预测文本。
   • Perplexity 是对数似然的指数变换：
     $$\text{Perplexity}=\exp \left(-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\log P(w_i)\right)$$