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news 2025/7/18 15:06:28

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群的基本定义

群由一组元素 G 和一个运算（常用符号包括 +，x , 或 ∗）组成。

封闭性

对于任意两个元素 x,y∈G，运算 x * y 的结果仍然属于集合 G，即：

∀x,y∈G,x∗y∈G.

结合律

对于任意 a,b,c∈G，群的运算满足结合律：

(a * b) * c = a * (b * c).

单位元

群中存在一个单位元 e∈G，使得对于任意 y∈G：

y * e = e * y = y.

逆元

对于每个 x∈G，存在逆元 x−1∈G，使得：

x∗x−1=e.

群的注意事项

非交换性

一个群 G 不一定是交换的，即运算可能不满足：

x * y = y * x.

例如，在三角形的变换中，旋转 rr 和翻转 ff 的次序可能影响结果：

$r \cdot f \neq f \cdot r$

特殊情况

如果 G 是交换的（即运算满足交换律），称为交换群或阿贝尔群。
如果 G 不满足交换律，则称为非交换群或非阿贝尔群。

什么是子群？

子群是由一个群的子集构成的更小的群。子群本身需要满足群的定义。如果 H 是 G 的子群，我们记作 H≤G。

子群的判定条件

要判断一个集合 H 是否是 G 的子群，需要满足以下条件：

非空子集：H≠∅，子群中至少要包含一个 G 的元素，通常包括单位元 e。
闭合性：如果 a,b∈H，则 a∗b∈H。
逆元存在性：对于 H 中的每个元素 a，其逆元 a−1 也必须属于 H。

子群测试法

一个简便的判定方法是验证：

H≠∅，且
对于所有 a,b∈H，都有 a∗b−1∈H。

子群的例子

平凡子群
每个群 G 至少有两个子群：

{e},G.

真子群
如果 H≠G 且 H≠{e}，则称 H 为真子群。

整数加法群的子群
在整数群 G=(Z,+)中，子群

Hn={nk:k∈Z},

其中 n 是任意正整数。例如：

H2={0,±2,±4,… }.

陪集与子群的指数

如果 H≤G，那么 H 在 G 中的陪集定义为：

gH={g∗h:h∈H}

其中 g∈G。

H 的指数（记作 ∣G:H∣）是 H 在 G 中不同陪集的数量。

什么是Cayley表？

Cayley表（或称群表）是群论中的一个基本工具，用于表示有限群的结构。它是一个方形矩阵，用来直观地展示群的运算。在Cayley表中，群的每个元素在行和列中都有表示，表中第 ii 行和第 jj 列的交点显示了元素 gi 和 gj 经群运算后的结果。

如何构建Cayley表

考虑一个有限群 G，它的元素为 {g1,g2,…,gn}，群的二元运算为 * 。构建该群的Cayley表的步骤如下：

标记行和列
用群的元素 g1,g2,…,gn 标记行和列。
填充表格
对于每一对元素 gi 和 gj，计算它们的积 gi ∗ gj（根据群的运算规则），并将结果填入表格中对应的位置。
对称性
如果群是交换群（即运算是交换的），则Cayley表相对于对角线是对称的。换句话说，对于任意的 gi,gj ∈G，都有： $g_i * g_j = g_j * g_i$

因此表中位置 (i, j) 和 (j, i) 的值相同。