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多输入变量的回归问题

1. 多元线性回归概述

1.1 单变量线性回归与多变量线性回归的概念区分

• 单变量线性回归：用于预测一个因变量（输出变量）与单一自变量（输入变量）之间的线性关系。模型形式为：

$$y={\theta }_0+{\theta }_{1}x$$

• 多变量线性回归：扩展到多个自变量，模型形式为：

$$y={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_n{x}_n$$
或者以向量形式表示：

$$y={\theta }^T\mathbf{x}$$

其中：

• $\theta$ 是参数向量。
• $\mathbf{x}$ 是特征向量。

1.2 实际应用——房价预测

• 问题描述：假设我们要预测房屋的价格，影响价格的因素可能包括：

  • 面积（平方米）。
  • 卧室数量。
  • 房屋年龄。

• 多元回归模型的目标：根据上述多个特征建立线性回归模型，用于预测房价。

2. 向量化表示与优势

2.1 向量化表示

• 线性回归模型的向量形式：
  假设有 $m$ 个样本，每个样本有 $n$ 个特征，设计矩阵 $\mathbf{X}$ 和参数向量 $\theta$ 定义如下：

$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_{1,1}& x_{1,2}& \dots & x_{1,n}\\ 1& x_{2,1}& x_{2,2}& \dots & x_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_{m,1}& x_{m,2}& \dots & x_{m,n}\end{array}\right],\theta =\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\theta }_1\\ ⋮\\ {\theta }_n\end{array}\right]$$

模型预测值：

$$\mathbf{y}=\mathbf{X}\theta$$

2.2 向量化的优势

• 计算效率高：利用矩阵运算可以快速计算多个样本的预测值。
• 代码简洁：减少循环操作，简化实现。

3. 多元线性回归的优化方法

3.1 梯度下降法

• 目标：通过最小化损失函数找到最优参数 $\theta$ 。
• 损失函数：

$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(h_{\theta }({\mathbf{x}}^{(i)})-y^{(i)}\right)}^2$$

• 梯度下降更新公式：

$$\theta :=\theta -\alpha \frac{\partial J(\theta )}{\partial \theta }$$

更新过程向量化为：

$$\theta :=\theta -\alpha \frac{1}{m}{\mathbf{X}}^T(\mathbf{X}\theta -\mathbf{y})$$

• 其中：

  • $\alpha$ 是学习率。
  • $m$ 是样本数量。

3.2 正规方程法

• 目标：通过直接计算闭式解找到参数向量 $\theta$ 。
• 公式：

$$\theta =({\mathbf{X}}^T\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^T\mathbf{y}$$

• 特点：

  • 无需选择学习率。
  • 计算量较大，尤其是特征数较多时。

4. 总结与比较

方法	优点	缺点
梯度下降法	易于处理大规模数据集；灵活性高	需要选择学习率；可能收敛较慢
正规方程法	无需调参，计算直接	对高维特征敏感，计算复杂度较高

应用建议：

• 当特征数较少时，优先考虑正规方程法。
• 当样本量大或特征维度高时，选择梯度下降法。