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本文涉及的知识点

图论 分类讨论

本题同解

【差分数组】【图论】【分类讨论】【整除以2】3017按距离统计房屋对数目

LeetCode3017按距离统计房屋对数目

给你三个 正整数 n 、x 和 y 。
在城市中，存在编号从 1 到 n 的房屋，由 n 条街道相连。对所有 1 <= i < n ，都存在一条街道连接编号为 i 的房屋与编号为 i + 1 的房屋。另存在一条街道连接编号为 x 的房屋与编号为 y 的房屋。
对于每个 k（1 <= k <= n），你需要找出所有满足要求的 房屋对 [house1, house2] ，即从 house1 到 house2 需要经过的 最少 街道数为 k 。
返回一个下标从 1 开始且长度为 n 的数组 result ，其中 result[k] 表示所有满足要求的房屋对的数量，即从一个房屋到另一个房屋需要经过的 最少 街道数为 k 。
注意，x 与 y 可以 相等 。
示例 1：
输入：n = 3, x = 1, y = 3
输出：[6,0,0]
解释：让我们检视每个房屋对

• 对于房屋对 (1, 2)，可以直接从房屋 1 到房屋 2。
• 对于房屋对 (2, 1)，可以直接从房屋 2 到房屋 1。
• 对于房屋对 (1, 3)，可以直接从房屋 1 到房屋 3。
• 对于房屋对 (3, 1)，可以直接从房屋 3 到房屋 1。
• 对于房屋对 (2, 3)，可以直接从房屋 2 到房屋 3。
• 对于房屋对 (3, 2)，可以直接从房屋 3 到房屋 2。
  示例 2：
  输入：n = 5, x = 2, y = 4
  输出：[10,8,2,0,0]
  解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下：
• 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 以及 (5, 4)。
• 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), 以及 (5, 3)。
• 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 5)，以及 (5, 1) 。
• 对于 k == 4 和 k == 5，不存在满足要求的房屋对。
  示例 3：
  输入：n = 4, x = 1, y = 1
  输出：[6,4,2,0]
  解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下：
• 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), 以及 (4, 3)。
• 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (2, 4), 以及 (4, 2)。
• 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 4), 以及 (4, 1)。
• 对于 k == 4，不存在满足要求的房屋对。

分类讨论

假定x != y

不失一般性，令x < y。
则x $\leftrightarrow$ y ,是环。房屋z1和z2,令z1 < z2 分类如下：
分类一，z1 < x ,z2 < x 。则两者经过的街道数为z2-z1。
分类二，z1，z2$\in$[x,y] 。min(z2-z1,y-z2+z1-x+1)。
分类三：z1,z2 > y。和分类一类似。
分类四：z1 < x ，z2$\in$[x,y]。 min(z2-z1,y-z2+1+(x-z1))
分类五：z1 < x ,z2 > y 。则两者经过的街道数为(z1-x)+1+(z2-y)。通过x,y中中转多花 x+1-y ，由于y > x，故多化的<=0，更优。
分类六：z1 $\in$[x,y]，z2 > y。 min(z2-z1,z1-x+1+(z2-y))

总结后的分类

新分类一：[z3,z4] 都不通过x$\leftrightarrow$y 中转。包括分类一，分类五，及x==y。
距离为1的数量为:z4-z3。
距离为2的数量为：z4-z3-1
$⋮$
新分类二：两个点都在环上，环的长度为len。则两点的合法距离只能$\in$[1,len/2] 原分类二。
如果len是偶数，距离len/2的点对数量为len/2，z5$\to$z6 就是 z6$\to$z5。
其它情况点对数量为：len。
新分类三：两个点分别在环两侧。分类五。
长度为3的点对：1。
长度为4的点对：2。
长度为5的点对：3 。
令环左侧的点数为len1，环右侧的点数为len2。计算距离为d的数量：
minl = max(0,d-3-(len2-1))
maxl = min(len1-1,d-3)
距离为d的点对数量：maxl - minl +1 。
新分类四：环上一点，一侧一点。原分类四六。
把环拆成两个，就和新分类三基本一致。

拆分成{2,1,4}和{5,6}，同时拆分成{3,4} {5,6}
交点4 被计算了两次，要扣掉。

代码

核心代码

class Solution {
public:vector<long long> countOfPairs(int n, int x, int y) {m_vRet.resize(n);if (x == y)		{Do1(1, n);return m_vRet;}if (x > y) {swap(x, y);}Do1(1, x - 1);const int iCycLen = y - x + 1;Do2(iCycLen);Do1(y + 1, n);Do4(iCycLen, x - 1);Do3(x - 1, 3, n - y);Do4(iCycLen, n - y);return m_vRet;}void Do1(int left, int r){for (int d = 1; d <= r - left; d++) {update(d, r - left + 1 - d);}}void Do2(int iCycLen){for (int d = 1; d <= iCycLen / 2; d++){const int cnt = ((0 == iCycLen % 2) && (iCycLen / 2 == d)) ? iCycLen / 2 : iCycLen;update(d, cnt);}}void Do3(int len1, int iMidDis, int len2){for (int d = 0; d <= len1 + len2 - 2; d++){const int minl = max(0, d - (len2 - 1));const int maxl = min(len1 - 1, d);update(d + iMidDis, maxl - minl + 1);}}void Do4(int iCycLen, int len){Do3((iCycLen+1) / 2 , 1, len);Do3(iCycLen / 2 + 1, 1, len);for (int d = 1; d <= len; d++) {update(d, -1);}}inline void update(int d, int cnt){m_vRet[d - 1] += cnt*2;}vector<long long> m_vRet;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{int n, x, y;{Solution sln;n = 6, x = 1, y = 5;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{ 12, 14, 4, 0, 0, 0 });}{Solution sln;n = 3, x = 2, y = 2;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{4, 2, 0});}{Solution sln;n = 4, x = 1, y = 1;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{6, 4, 2, 0});}{Solution sln;n = 5, x = 2, y = 4;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{10, 8, 2, 0, 0});}{Solution sln;n = 3, x = 1, y = 3;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{6, 0, 0});}{Solution sln;n = 2, x = 2, y = 2;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{2, 0});}
}

扩展阅读

视频课程

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https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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相关下载

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我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。