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很好，我们现在来回答你问的这个问题：

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🟠 幂级数在收敛半径 $R$ 以外会发生什么？

我们考虑一个一般形式的幂级数：

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$$

它的收敛半径为 $R$，那么：

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✅ 一、在 $|x-x_0|<R$（收敛圆内部）

• 幂级数绝对收敛
• 连续、可导、可按项积分、可按项微分（性质很好）

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⚠️ 二、在 $|x-x_0|=R$（收敛圆边界）

• 幂级数可能：

  • 收敛（绝对或条件）
  • 也可能发散

• 需要逐个端点判别

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❌ 三、在 $|x-x_0|>R$（收敛圆外部）

$$\boxed{\text{一定发散}}$$

✅ 原因：

这是幂级数的一个基本定理：

幂级数只在收敛圆内部收敛，在圆外一定发散。

具体解释如下：

幂级数的收敛性由项 $a_n(x-x_0{)}^n$ 控制，它的收敛性由以下公式决定：

$$R=\frac{1}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}|a_n{|}^{1/n}}$$

如果 $|x-x_0|>R$，则：

$$\left|a_n(x-x_0{)}^n\right|\nrightarrow 0$$

或者甚至发散得很快，意味着整个级数不能收敛。

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📌 举个例子说明

考虑幂级数：

$$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots$$

• 这是一个等比级数 $a=1,q=x$
• 它的收敛半径 $R=1$
• 当 $|x|<1$，收敛，和为 $\frac{1}{1-x}$
• 当 $|x|=1$，需要分别判断（比如 $x=1$ 发散，$x=-1$ 条件收敛）
• 当 $|x|>1$，项 $x^n$ 越来越大 → 一定发散！

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