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- 前言
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前言
多元线性回归是回归分析中的一种复杂模型，它考虑了多个输入变量对输出变量的影响。与一元线性回归不同，多元线性回归通过引入多个因素，更全面地建模了系统关系。
多元线性回归模型的表达式为： f ( X ) = K T X + b f(X) =K^TX+b f(X)=KTX+b
其中，X为输入向量，包含多个特征（自变量）；f (X)为模型的输出或响应（预测的目标变量）； K T K^T KT 为特征权重；b为是模型的截距或偏置；我们的目标是通过学习 K T K^T KT 和b 使得f (X)尽可能的接近真实观测值y。
为了方便计算和编程，我们可以将b吸收进x和k中去，使得 y = k ^ T x ^ y=\hat{k}^T\hat{x} y=k^Tx^,因为
y = k T x + b ∗ 1 y=k^T x +b*1 y=kTx+b∗1
展开可得：
y = k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k n x n + b ∗ 1 y=k_1x_1+k_2x_2+...+k_nx_n+b*1 y=k1x1+k2x2+...+knxn+b∗1
我们重现令：
x ^ = ( x , 1 ) = [ x 1 , x 2 , . . . , x n , 1 ] \hat{x}=(x,1)=[x_1,x_2,...,x_n,1] x^=(x,1)=[x1,x2,...,xn,1]
k ^ = ( k , b ) = [ k 1 , k 2 , . . . , k n , b ] \hat{k}=(k,b)=[k_1,k_2,...,k_n,b] k^=(k,b)=[k1,k2,...,kn,b]
从而得到 y = k ^ T x ^ y=\hat{k}^T\hat{x} y=k^Tx^。这样的变形使得模型表达更为简洁，同时不影响其表达能力。
实战
# 导入模块
from sklearn import model_selection
import statsmodels.api as sm
import numpy as np
import pandas as pd # 导入数据
Profit = pd.read_excel(r'Predict to Profit.xlsx')
# 将数据集拆分为训练集和测试集
train, test = model_selection.train_test_split(Profit, test_size = 0.2, random_state=1234)
# 根据train数据集建模
model = sm.formula.ols('Profit ~ RD_Spend+Administration+Marketing_Spend+C(State)', data = train).fit()print('模型的偏回归系数分别为：\n', model.params)
# 删除test数据集中的Profit变量，用剩下的自变量进行预测
test_X = test.drop(labels = 'Profit', axis = 1)
pred = model.predict(exog = test_X)print('对比预测值和实际值的差异：\n',pd.DataFrame({'Prediction':pred,'Real':test.Profit}))模型的偏回归系数分别为：Intercept 58581.516503
C(State)[T.Florida] 927.394424
C(State)[T.New York] -513.468310
C(State)[T.New York] -513.468310
RD_Spend 0.803487
Administration -0.057792
Marketing_Spend 0.013779
dtype: float64
对比预测值和实际值的差异：Prediction Real
8 150621.345802 152211.77
48 55513.218079 35673.41
14 150369.022458 132602.65
42 74057.015562 71498.49
29 103413.378282 101004.64
44 67844.850378 65200.33
4 173454.059692 166187.94
31 99580.888894 97483.56
13 128147.138396 134307.35
18 130693.433835 124266.90