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机器学习(Gradient Descent)

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梯度下降(Gradient Descent)

optimization problem:

损失函数最小化
假设本模型有两个参数𝜃₁和𝜃₂，随机取得初始值
求解偏微分，梯度下降对参数进行更新

Visualize:

确定梯度方向，红色表示Gradient方向，蓝色是梯度下降的方向，因为我们要是损失函数L减小，使用应该取与Gradient方向相反的方向，这也对应着进行参数更新时用的是-(减号)
其中：η 叫做Learning rates（学习速率）

Small Tips

Tip 1:Tuning your learning rates

下面是两幅图，我们来简单看一下

1. 图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始：（一维）
   • 学习率刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。
   • 学习率太小，比如蓝色的线，也可以顺利找到最低点，就会走的太慢，时间成本太高。
   • 学习率有点大，比如绿色的线，出现了跳过最低点，反复进行横跳，很难到达最低点。
   • 学习率非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。
2. 当参数为一维或者二维的时候，我们可以很直观地建立图形进行观察，但是超过了三维以后，我们就无法进行可视化，但是右图是始终可以建立的，分别表示了不同学习率下参数更新以后损失函数的变化情况。将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

我们可能会猜想，学习率很重要，既不能太大，跳出最优解，也不能太小，收敛过慢，那有没有一种可能实现学习率地改变呢？

Adaptive Learning Rates

在训练的过程中，我们需要实现学习率的自适应变化：

1. Reduce the learning rate by some factor every few epochs.
   • 前期初始点可能距离最低点较远，我们可以将学习率设置大一些，使得损失函数更快收敛。
   • update参数以后，离最低点较近，此时，我们应该调整学习率变小，防止跳过了最低点。
2. Learning rate cannot be one-size-fits-all
   • 给不同的参数分配不同的学习率

自适应学习率算法-Adagrad

下面有两种方法，第一种是针对一个参数的，但是我们要学习的是第二种，实现参数独立的自适应学习率算法

w是一个参数
𝜎^t :之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。
普通梯度下降如Vanilla Gradient descent
使用Adagrad算法：每个参数的学习率都把除以之前微分的均方根。

变形

Contradiction

按照正常的理解，梯度越大，说明可能离最低点越远，那么我们变化的步伐也应该越大，梯度越小，说明可能离最低点越远，那么我们变化的步伐也应该越小，但是在Adagrad算法里面，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小，前后有点矛盾了。
解释：
此处我们的步长是相对的，我们当前的梯度的大小也是相对于前面的梯度大小来调整步长

1. 构造反差效果
   
2. 通过实例看出最优步长与一次微分成正比，与二次微分成反比，这里采用之前所有一次微分的均方根估计二次微分
   • 正比解释：一次微分越大，说明可能离最低点越远，步伐越大
   • 反比解释：二次微分越小，一次微分变化越慢，一次微分也就倾向于保留较大的趋势，步伐也就越大
     
3. 同一参数，可以通过比较其一次微分比较其距离最优值的距离；不同参数还需要考虑二次微分。
   Do not cross parameters
   
4. 第2点我们提到了Use first derivative to estimate second derivative
   • 一个较为复杂的参数模型，我们在进行求解的时候，算一次偏微分可能就需要很长的时间，所以二次偏微分一般不可取
   • 一般情况下，在一定的范围内取一次偏微分，进行平方求和开根号，在一定的程度上面也可以反映二次偏微分的大小
     

Tip 2:Stochastic Gradient Descent(SGD)

基本思想：损失函数没处理一个批次的数据就进行一次更新，

• 普通的算法在进行参数更新的时候是一次遍历所有的例子，然后更新，实现一次更新，步伐一般较大。
• SGD算法进行参数更新的时候每遍历一个例子就进行一次更新，实现多次更新，一般步伐较小。

Tip 3:Feature Scaling

存在多个变量的时候，很可能出现的一种情况就是，他们的取值范围不一样，一个可以很大，一个可以很小，那么我们在对他们的对应参数进行相同变化的时候，而y的变化的情况却大不相同。

左图： x1的scale比x2要小很多，所以当 w1​和 w2做同样的变化时，w1对 y 的变化影响是比较小的（w1对损失函数L有较小的微分，在w1方向上梯度较小，图像较为平滑），x2​ 对 y 的变化影响是比较大的（w2对损失函数L有较大的微分，在w2方向上梯度较大，图像上有比较陡峭的峡谷）
右图：二者scale相近，各点处梯度大致相同
来源

Normalize

计算每一个维度变量的

• 均值：m_i
• 标准差： σ_i

进行相应的变化

这样所有维度的均值都是0，方差都是1。

Gradient Descent Theory

当我们在使用梯度下降算法进行参数优化的时候，每一次的优化并不能百分百保证使得损失函数越来越小。

我们在一般情况下，我们无法一瞬间找到全局最优解，可以做到的是给定某个初始值和某个范围，我们可以找到局部最低点。

How to y find the point with the smallest value nearby?

Taylor Series

一个变量的泰勒展开

Taylor多项式在点x=x₀上逼近函数的值。多项式的阶次越高，多项式中的项越多，逼近函数的实际值越近。

两个变量的泰勒展开

Gradient Desent

我们在前面提到了，给定某个初始值和某个范围，如果这个范围足够小，那么我们是不是可以用泰勒展开对损失函数表达式进行替换

以d为半径，做一个足够小的圆形区域，在这个区域上面，我们可以使用泰勒展开

s可以看作定值，后面可以看作向量点乘（不记得的去百度一下）
点乘还有一种计算方法就是：两向量的模相乘再乘以夹角的余弦值，其中（u,v）是一节偏微分，是梯度，所以要让点乘结果最小，我们可以让两向量方向相反，夹角余弦值为-1，让另一向量模最大，但是有边界限制。

现在我们可以更好理解使用泰勒展开的意义了，最后得到的向量的方向也就是我们向最低点移动的方向，但是不要忘记了我们使用泰勒展开的前提范围足够小，同样也要求我们学习率也要足够小，这样才能保证泰勒展开的精度是足够的

More Limitation of Gradient Descent

• 微分值为0，可能是极值点，但不一定是全局极值，也可能仅仅只是微分值为0的非极值点
• 在实际的ML中，当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点