Day57

回文子串

647. 回文子串 - 力扣（LeetCode）

题目

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

思路

动规五部曲

• 确定dp数组以及下标含义

本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。

dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

所以我们要看回文串的性质。 如图：

我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

• 确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

• 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串

• 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串

• 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

  if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){
  if (j - i <= 1){ // 情况一, 情况二
  count++;
  dp[i][j] = true;
  }else if(dp[i + 1][j - 1]){ // 情况三
  count++;
  dp[i][j] = true;
  }
  }

result就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

• dp数组初始化

dp[i][j]初始化为false。

• 遍历顺序

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Wis0JIQb-1691292330556)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210121171032473-20230310132134822.jpg “647.回文子串”)]

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

for(int i = sLen - 1; i >= 0; i--){for(int j = i; j < sLen; j++){if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){if (j - i <= 1){    // 情况一, 情况二count++;dp[i][j] = true;}else if(dp[i + 1][j - 1]){ // 情况三count++;dp[i][j] = true;}}}
}

• 举例递推公式

举例，输入：“aaa”，dp[i][j]状态如下：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FfEMQWFb-1691292330556)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210121171059951-20230310132153163.jpg “647.回文子串1”)]

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

代码

class Solution {public int countSubstrings(String s) {int sLen = s.length();int count = 0;boolean dp[][] = new boolean[sLen][sLen];for(int i = sLen - 1; i >= 0; i--){for(int j = i; j < sLen; j++){/**整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。*/if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){if (j - i <= 1){    // 情况一, 情况二count++;dp[i][j] = true;}else if(dp[i + 1][j - 1]){ // 情况三count++;dp[i][j] = true;}}}}return count;}
}

最长回文子序列

516. 最长回文子序列 - 力扣（LeetCode）

题目

给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。

示例 1: 输入: “bbbab” 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 “bbbb”。

示例 2: 输入:“cbbd” 输出: 2 一个可能的最长回文子序列为 “bb”。

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 只包含小写英文字母

思路

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

动规五部曲分析

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

• 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图： [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sCwR202k-1691292330556)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210127151350563.jpg “516.最长回文子序列”)]

（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-znfAuWDQ-1691292330557)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210127151420476.jpg “516.最长回文子序列1”)]

if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}

• dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

• 确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j的话，可以正常从左向右遍历。

for(int i = sLen - 1; i >= 0; i--){for(int j = i + 1; j < sLen; j++){if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}
}

• 举例推导dp数组（一定要推导）

输入s:“cbbd” 为例，dp数组状态如图：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wh0U0pFO-1691292330557)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210127151521432.jpg “516.最长回文子序列3”)]

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

代码

class Solution {public int longestPalindromeSubseq(String s) {int sLen = s.length();// dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。int dp[][] = new int[sLen][sLen];for(int i = 0; i < sLen; i++) dp[i][i] = 1;for(int i = sLen - 1; i >= 0; i--){for(int j = i + 1; j < sLen; j++){if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[0][sLen - 1];}
}