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[NOIP2006 提高组] 金明的预算方案

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $n$ 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 $0$ 个、$1$ 个或 $2$ 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 $n$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1\sim 5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 $10$ 元的整数倍）。他希望在不超过 $n$ 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v_j$，重要度为$w_j$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,\dots ,j_k$，则所求的总和为：

$v_{j_1}\times w_{j_1}+v_{j_2}\times w_{j_2}+\cdots +v_{j_k}\times w_{j_k}$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示总钱数 $n$ 和希望购买的物品个数 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行三个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $v_i$，$p_i$，$q_i$ 分别表示第 $i$ 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 $q_i=0$，表示该物品本身是主件。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

样例输出 #1

2200

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 3.2\times 10^4$，$1\le m\le 60$，$0\le v_i\le 10^4$，$1\le p_i\le 5$，$0\le q_i\le m$，答案不超过 $2\times 10^5$。

NOIP 2006 提高组 第二题

这道题其实是一个背包问题和一个正常的dp转换问题，其实不难思考

首先我们可以想到在挑选一个主件时，可能会有四种情况：
情况1：只选主件
那么此时的状态转移方程就是
$dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);$
情况2：只选主件和附件1
则可得到
$dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]-fjw[i][1]]+v[i]+fjv[i][1]);$
同样还有两种情况，会有以下的两种状态转移方程
$dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]-fjw[i][2]]+v[i]+fjv[i][2]);$
$dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]-fjw[i][1]-fjw[i][2]]+v[i]+fjv[i][1]+fjv[i][2]);$

既然有了此，那么程序就好写了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n,m;
int v[32100],w[32100],fjw[32100][3],fjv[32100][3];//v为主件的价值，w为主件的重量，fjw为附件的重量，fjv为附件的价值
int dp[33300];
int main() {cin>>n>>m;for (int i=1;i<=m;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;if (c==0){v[i]=a*b;w[i]=a;}else {fjw[c][0]++;fjw[c][fjw[c][0]]=a;fjv[c][fjw[c][0]]=a*b;}}for (int i=1;i<=m;i++){for (int j=n;j>=w[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);//情况1只要主件if (j>=w[i]+fjw[i][1])dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]-fjw[i][1]]+v[i]+fjv[i][1]);//情况2只要主件和附件1if (j>=w[i]+fjw[i][2])dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]-fjw[i][2]]+v[i]+fjv[i][2]);//情况2只要主件和附件2if (j>=w[i]+fjw[i][1]+fjw[i][2])dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]-fjw[i][1]-fjw[i][2]]+v[i]+fjv[i][1]+fjv[i][2]);//情况3都要}}cout<<dp[n];return 0;
}