算法训练营 day46 动态规划 最后一块石头的重量 II 目标和 一和零

最后一块石头的重量 II

1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（LeetCode）

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

是不是感觉和昨天讲解的416. 分割等和子集非常像了。

本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

接下来进行动规五步曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

2. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

3. dp数组如何初始化

因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

4. 确定遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

5. 举例推导dp数组

举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：

一维dp数组

class Solution {public  int lastStoneWeightII(int[] stones) {int sum = 0;for (int a : stones) {sum += a;}int target = sum / 2;int[] dp = new int[target + 1];for (int i =0; i < stones.length; i++) {for (int j = target; j >=stones[i]; j--) {if (j < stones[i]) {dp[j] = dp[j];} else {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);}}}return (sum - dp[target]) - dp[target];}
}

二维dp数组

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int sum = 0;for (int a : stones){sum += a;}int target = sum/2;int[][] dp = new int[stones.length][target+1];for (int j = stones[0]; j <=target; j++) {dp[0][j] = stones[0];}for (int i = 1; i <stones.length; i++) {for (int j = 1; j <=target; j++) {if (j<stones[i]){dp[i][j] = dp[i-1][j];}else {dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-stones[i]]+stones[i]);}}}return (sum - dp[stones.length - 1][target]) - dp[stones.length - 1][target];}
}

目标和

494. 目标和 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

   其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。

2. 确定递推公式

   只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

   凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

3. dp数组如何初始化

   从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

4. 确定遍历顺序

   对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

5. 举例推导dp数组

   输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

   bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

   dp数组状态变化如下：

   

一维dp数组

class Solution {public  int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int sum = 0;for (int num : nums) {sum += num;}int S = (sum + target) / 2;if (sum < Math.abs(target)) return 0;if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;int[] dp = new int[S + 1];dp[0] = 1;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {for (int j = S; j >=nums[i]; j--) {dp[j] +=dp[j - nums[i]];}}return dp[S];}
}

二维dp数组

    public static int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int sum = 0;for (int num : nums) {sum += num;}int S = (sum + target) / 2;if (sum < Math.abs(target)) return 0;if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;int[][] dp = new int[nums.length + 1][S + 1];dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= nums.length; i++) {for (int j = 0; j <= S; j++) {if (j < nums[i - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i - 1]];}}}return dp[nums.length][S];}

一和零

474. 一和零 - 力扣（LeetCode）

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

   dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

   dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

   然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

   所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

3. dp数组如何初始化

   因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

   物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

5. 举例推导dp数组

   以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例

   最后dp数组的状态如下所示：

    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];for (String str : strs) {int oneNum = 0, zeroNum = 0;for (char c : str.toCharArray()) {if (c == '0') zeroNum++;else oneNum++;}for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {for (int j = n; j >= oneNum; j--) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);}}}return dp[m][n];}