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各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导
参考文献：
- [1] 刘欣怡,付小莉.论连续性方程的推导及几种形式转换的方法[J].力学与实践,2023,45(02):469-474.
书接上回：
我们能得到三个方向的流入流出平衡方程：
∂ ρ u x ∂ x d x d y d z \frac{\partial \rho u_x}{\partial x}dxdydz ∂x∂ρuxdxdydz
∂ ρ u y ∂ y d x d y d z \frac{\partial \rho u_y}{\partial y}dxdydz ∂y∂ρuydxdydz
∂ ρ u z ∂ z d x d y d z \frac{\partial \rho u_z}{\partial z}dxdydz ∂z∂ρuzdxdydz
已知在dt时间内的流量变化率为:
∂ ρ d x d y d z ∂ t \frac{\partial \rho \ dxdydz}{\partial t} ∂t∂ρ dxdydz
则表明净质量流量为：
( ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x ) d x d y d z (\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})dxdydz (∂x∂ρux+∂x∂ρux+∂x∂ρux)dxdydz
根据系统内的平衡
系统内质量的时间变化率 = 控制体内质量的时间变化率 + 通过控制面表面的净质量流量 系统内质量的时间变化率=控制体内质量的时间 变化率+通过控制面表面的净质量流量 系统内质量的时间变化率=控制体内质量的时间变化率+通过控制面表面的净质量流量
对于守恒型：
系统内质量的时间变化率=0
0 = ∂ ρ d x d y d z ∂ t + ( ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x ) d x d y d z 0=\frac{\partial \rho \ dxdydz}{\partial t}+(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})dxdydz 0=∂t∂ρ dxdydz+(∂x∂ρux+∂x∂ρux+∂x∂ρux)dxdydz
化简为：
0 = ∂ ρ ∂ t + ( ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x ) 0=\frac{\partial \rho}{\partial t}+(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}) 0=∂t∂ρ+(∂x∂ρux+∂x∂ρux+∂x∂ρux)
写成散度形式：
0 = ∂ ρ ∂ t + ∇ ( ρ u ) 0=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla(\boldsymbol {\rho u}) 0=∂t∂ρ+∇(ρu)
即可得到连续性方程