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2014年认证杯SPSSPRO杯数学建模
A题 轮胎的花纹
原题再现：
轮胎被广泛使用在多种陆地交通工具上。根据性能的需要，轮胎表面常会加工出不同形状的花纹。在设计轮胎时，往往要针对其使用环境，设计出相应的花纹形状。
第二阶段问题： 轮胎花纹的形状对轮胎的性能有着可观的影响。推出一款新的轮胎时，往往也要对花纹形状进行认真的设计和优化。请你建立合理的数学模型，当给定车辆情况、路面条件和使用需求时，设计出合适的轮胎花纹。
整体求解过程概述(摘要)
本文针对轮胎花纹的设计建立了一个多目标规划的模型。通过轮胎花纹对于轮胎性能的影响，我们将所影响轮胎的性能转化为六项可见的指标（承载性能、防滑性能、牵引性能、减噪性能、耐磨性能），并以这六项指标来建立多目标规划的模型，并用 TOPSIS分析法来得到最终的最优解。对于如何设计出轮胎花纹，我们可将其分解为以下几个部分来求解影响花纹设计的几个参数，最终得到轮胎花纹的设计方案。
第一部分：我们将驾车者对于轮胎使用需求分为三类：车辆情况、路面条件、行车条件。将这三类需求的每种情况所对应的轮胎性能的要求进行量化，并用矩阵表示。同时，通过权值分析，将给定车辆情况、路面条件、行车条件后对轮胎性能的要求表示出来，并用储存在目标向量。
第二部分：结合文献资料，我们总结出 3 个轮胎花纹设计要素（轮胎花纹走向、沟槽比、沟槽深度），并且将花纹的设计因素对轮胎性能的影响进行评价，最终进行量化。通过引入参数θ （横纹倾斜度）， x （横纹所占总花纹面积比），b （沟槽比），c（沟槽深度），然后由目标向量来建立一个非线性规划模型，再对其进行优化，将非线性规划
转化为图中寻求最优路径的问题。
第三部分：在第二部分中寻找到了所有可行路径后，为了寻求在多个目标均最优的条件下最优解，通过 TOPSIS 分析法，对所有可行路径进行从优到劣的排列，得到所需求的最优路径，从而也确定了花纹的设计方案。
问题分析：
在解决上述三个问题之前，我们首先确定对轮胎的性能评价分类：承载性能、防滑性能、牵引性能、减噪性能、缓冲性能。耐磨性能，这六项性能基本包括了轮胎能力涵盖的范围。
针对问题 1，不同消费者会给出不同的车辆情况、路面条件、使用需求。以路面条件为例，就可以划分为沙地、碎石地、山地、雨雪地、沼泽地、高速公路、沥青路面、水泥路面，这样的分类方式过于繁杂，处理数据过程中很容易出现纰漏。如果仅依靠几个特殊的条件得到的花纹组合那么将不具有解决问题的通用性、很难体现数学建模的实际意义。我们要做的便是通过资料的收集，将消费者对于车辆情况、路面条件、使用需求的约束条件进行归纳分析，将其分为三大类，每个大类选取典型的影响因子，将这些典型的影响因子量化，这样做即达到了简化数学模型的目的，又不会丢失过多的影响因素，影响文章的准确性。
针对问题 2，通过对第一阶段问题的研究，我们得到了轮胎花纹的性能特征、影响因素，但这些结论大部分是定性结论，如果想实现给定条件下设计出合适的花纹，必须将花纹设计因素量化成性能评分，通过分数评定得到给定条件下的花纹组合。通过查询一系列资料，我们将花纹的设计因素归纳为轮胎花纹走向、沟槽比、沟槽深度。将这三个设计因素与轮胎的六项性能建立分值联系，达到量化的效果。其中在花纹走向的分析上，我们将横纵向花纹根据其在整体花纹组合中的贡献度进行复合，得到一个比较完善的花纹走向评分模型；沟槽比、沟槽深度则通过资料介绍、测量得到合理的区间范围，引入量化模型。
针对问题 3，通过前两个问题已经分别得到了花纹性能评价的量化评分指标，实际需求条件对于性能的量化评分指标，通过某一给定的实际需求指标，计算出能够满足该需求的轮胎花纹所有组合，最后通过多目标规划等数学建模方法，减小可行域，得到相应的可行解，再通过对于实际问题的分析得到轮胎花纹设计的最优化解决方案，完成轮胎花纹设计方案。
模型假设：
1.假设轮胎使用的材质相同；
2.假设轮胎的半径以及胎壁厚度相同；
3.假设轮胎花纹性质仅由花纹走向，沟槽比，沟深决定。
论文缩略图：
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部分程序代码：(代码和文档not free)
function [routes,combinc,all]=essential(theta,x,a,b,c,target)
%Tranverse all the combinations of elements in a, b, c, caclulate weight of routes connected
to a, b, c.
combin=[];routes=[];routes1=[];combinc=[];
all=[];
for i=1:5
for j=1:6
extent(i,j)=a(1,j)*cos(theta(i))+a(2,j)*sin(theta(i));
end
end
for i=1:6
extent(6,i)=a(2,i);
end
for k=1:5for i=1:5
for j=1:6
combin1(i,j)=x(k)*extent(i,j)+(1-x(k))*extent(6,j);
end
end
combin=[combin;combin1];
end
for i=1:25
for j=1:4
combinb(j,:)=combin(i,:)+b(j,:);
for k=1:4
combinc1(k,:)=combinb(j,:)+c(k,:);
flag=0;
for m=1:6
if combinc1(k,m)-target(m)<0
flag=1;
continue;
end
end
if flag==0;
routes1=[i,j,k];
routes=[routes;routes1];
combinc=[combinc;combinc1(k,:)];
end
end
all=[all;combinc1];
end
end
（2）Topsis 法：将原始的组合信息 combinc 转换成规范矩阵
function norm_matrix=create_norm(combinc)
% combinc - Oringinal Data
[m,n]=size(combinc);
for j=1:n
norm_matrix(:,j)=combinc(:,j)/norm(combinc(:,j));
end
（3）将整合路径分布成原始的组合路径，即花纹设计方案的组合
function rou=translaterou(routes,theta,x,bb,cc)
[m,n]=size(routes);
rou=[];rou_rest=[];
for i=1:m
if routes(i,1)<5
o=routes(i,1);
else
o=fix(routes(i,1)/5);
end
p=mod(routes(i,1),5);
if p==0
p=5;
end
rou1=[theta(o),x(p)];
rou=[rou;rou1];
end
for i=1:m
rou2=[bb(routes(i,2)),cc(routes(i,3))];
rou_rest=[rou_rest;rou2];
end
rou=[rou,rou_rest];
（4）Topsis 法：取最优可行解
function [sf,index]=topsis(weightednorm)
[m,n]=size(weightednorm);
c_positive=max(weightednorm);
c_negetive=min(weightednorm);
for i=1:m
s_positive(i)=norm(weightednorm(i,:)-c_positive);
s_negetive(i)=norm(weightednorm(i,:)-c_negetive);
end
figure=s_negetive./(s_negetive+s_positive);
[sf,index]=sort(figure,'descend');
（5）根据车辆类型、道路状况、使用需求组合加权得出指标矩阵
function [all_target,target]=allt(car,conditions,needs)
car=0.4*car;
conditions=0.2*conditions;
needs=0.4*needs;
part=[];all_target=[];index0=[];index=[];
for i=1:5
for j=1:4
part1(j,:)=car(i,:)+conditions(j,:);
index1(j,:)=[i,j];
end
part=[part;part1];
index0=[index0;index1];
end
for i=1:20
for j=1:4
part2(j,:)=part(i,:)+needs(j,:);
index2(j,:)=[index0(i,:),j];
end
all_target=[all_target;part2];
index=[index;index2];
end
target=3*all_target;
all_target=[target,index];